3.1 函数的概念及其表示 讲义——2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.1 函数的概念及其表示 1、函数的传统定义： 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数。 2、函数的概念： 一般地，设，是非空的实数集（非空性），如果对于集合中的任意一个（任意性）数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有（存在性）唯一（唯一性）确定的数和它对应，那么就称：→为集合到集合的一个函数，记作：。 其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。显然，值域是集合的子集。 3、函数的三要素： ①定义域：函数的定义域是自变量的取值范围。在函数关系的表述中，函数的定义域有时可以忽略，这时就约定这个函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合。在实际问题中，函数的定义域还要受到自变量实际意义的制约。 ②对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”。按照这一“程序”，从定义域中任取一个，可得到值域中唯一的与之对应。 ③值域：值域是函数值的集合，通常一个函数的定义域和对应关系确定，它的值域也就随之确定了。 4、函数的相等： 因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数。而与表示自变量和函数值的字母无关。 当两个函数的定义域和值域分别相同时，这两个函数不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一确定函数的对应关系，只有定义域和对应关系都相同的两个函数才是相同函数。 5、区间的概念： 区间是数学中表示“连续”的数集的一种形式，设是两个实数，而且。我们规定： 满足不等式的实数的集合叫做闭区间，表示为[，]； 满足不等式的实数的集合叫做开区间，表示为（）； 满足不等式或的实数的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[，），（，]。 这里的实数与都叫做相应区间的端点。其中叫做左端点，叫做右端点。 这些区间的几何表示如下表所示。在数轴表示时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点。 实数集可以用区间表示为，“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”。 满足的实数的集合，可以用区间分别表示为[，），（，）， （，]，（，）。 6、函数定义域的求法： ①考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件。 ②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义。 ③注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示。 7、对符号的理解： ①表示关于的函数，又可以理解为自变量对应的函数值，是一个整体符号。 符号可以看作是对“”施加的某种法则或运算，例如，当时，可以看作是对“”施加了这样的运算法则：先平方，再减去，最后加上。 ②对于中的理解，虽然与从等号右边的表达式来看是一样的，但由于施加法则的对象不一样（一个为，而另一个为），因此函数解析式也是不一样的。 ③函数符号并不一定是解析式，它可以是其他任意的一个对应关系，如图象、表格、文字等。 ④与，的关系：表示自变量为的函数，表示的是变量，而表示的是当时的函数值，是一个值域内的值，是常量，如，当时，。 8、函数的三种表示方法： 解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。 优点：简明，给自变量求函数值。 图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系。 优点：直观形象，反应变化趋势。 列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系。 优点：不需计算就可看出函数值。 9、分段函数： 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应关系（表达式），这样的函数称为分段函数。 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况。 ①分段函数是一个函数，而不是多个函数。 ③分段函数的值域是各段函数值域的并集。 ②分段函数的定义域是各段自变量取值范围的并集，并且分段函数各段间的定义域的交集为空集。容 ④分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成。 ⑤在同一直角坐标系中，根据每段定义区间和表达式依次画图像，要注意每段图像的端点是空心点还是实心点，将每段图像组合到一起就得到整个分段函数的图象。 10、函数值域的求法： 观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域。 配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域。