专题03 第三章 旋转（优质类型）-2023-2024学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版）

专题03第三章 旋转 【专题过关】 类型一、全等三角形的旋转 【解惑】如图，一副三角板如图放置，，顶点重合，将绕其顶点旋转，如图，在旋转过程中，当，连接、，这时的面积是 ． 【融会贯通】 1．（2023春·陕西西安·八年级高新一中校考期末）如图，中，，，，对角线绕着对称中心按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交、于点、，若，则图中阴影部分的面积是 ． 2．（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期中）已知，． (1)如图1，当点在同一直线上时，连接，则和的位置关系是__________（填“”或“”）． (2)把绕点旋转到如图2所示的位置，试问（1）中的结论是否仍然成立？写出你的结论，并说明理由． (3)在图1的基础上，将绕点旋转一定角度到如图3所示的，连接，，过点作于点，交于点，求的值． 3．（2022秋·全国·八年级专题练习）在四边形中，，现将一个角的顶点落在点A处． (1)如图①，当该角的两边分别与边相交于E、F时．求证：； (2)现在将该角绕点A进行旋转，其两边分别与边的延长线相交于点F，那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，说明理由；若不成立，试探究线段与之间的等量关系，并加以证明．（利用图②进行探索） 4．（2022秋·河北石家庄·八年级校考阶段练习）已知，如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD垂直于直线m，CE垂直于直线m，垂足分别为点D、E． (1)图中的一对全等三角形为 ，DE、BD和CE之间的数量关系为 (2)如图②，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有，其中为任意钝角，请问（1）中DE、BD和CE三者之间的数量关系是否成立？若成立，请你给出证明：若不成立，请说明理由． (3)如图③，将（1）中直线m绕点A旋转，交线段BC与点F，请直接写出DE、BD和CE之间的数量关系． 5．（2023秋·全国·八年级专题练习）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，如图1所示，BC边在直线l上，若Rt△ABC绕点C沿顺时针方向旋转α，过点A、B分别作l的垂线，垂足分别为点D、E． (1)当0＜α＜90°时，证明：△ACD≌△CBE，并探究线段AD、BE和DE的数量关系并说明理由； (2)当90°＜α＜180°，且α≠135°时，探究线段AD、BE和DE的数量关系（直接写出结果）． 类型二、等腰三角形的旋转 【解惑】在七年级下册“证明”的一章的学习中，我们曾做过如下的实验：画∠AOB＝90°，并画∠AOB的平分线OC．把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点E、F． (1)若PE⊥OA，PF⊥OB（如图①），PE与PF相等吗？请说明理由； (2)把三角尺绕点P旋转（如图②），PE与PF相等吗？请说明理由； (3)探究：画∠AOB＝50°，并画∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，作∠EPF＝130°．∠EPF的两边分别与OA、OB相交于E、F两点（如图③），PE与PF相等吗？请说明理由． 【融会贯通】 1．（2023春·福建宁德·八年级统考期中）如图1，已知等腰三角形与等腰三角形全等，边与边重合，交射线于点M，．    (1)若，求的度数． (2)如图2，将等腰三角形绕点B按顺时针方向旋转，过点E作，交于点N． ①求证：． ②判断的数量关系，并证明． 2．（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）如图（1），已知，且．    (1)求证：； (2)将绕C点旋转（A、C、D三点在同一直线上除外）的过程中，若所在的直线交于点F，当点F为边的中点时，如图2所示．求证：； (3)在（2）的条件下，求证：． 3．（2023春·河南南阳·九年级校考阶段练习）特例感知： 如图1，在等边三角形中，是延长线上一点，且，以为边在上方作等边三角形，连接，过点作，过点作，交于点，连接． (1)试判断和的数量关系，并说明理由． 猜想论证： (2)将绕点按顺时针方向旋转一定角度，其余操作不变，则和的数量关系是否仍然成立，请仅就图2的情形说明理由． 拓展延伸： (3)将如图1所示的绕点C按逆时针方向旋转，其余操作不变．若，当是直角三角形时，请直接写出α的值． 4．（2023春·全国·八年级专题练习）阅读材料：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．如图①，等腰和等腰中，，将绕点A旋转，连接，利用上面结论或所学解决下列问题： (1)若，求证：； (2)连接，当点D在线段上时． ①如图②，若，则的度数为 ；线段与之间的数量关系是 ； ②如图③，若，为中边上的高，判断的度数及线段之间的数量关系说明理由． 5．（2021秋·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考期末）【探究发现】（1）如图所示，和均为等边三角