第三讲 常用逻辑用语-2023-2024学年高一数学上学期核心题型专练（人教A版2019必修第一册）

第三讲 常用逻辑用语 知识点总结 知识点1　充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 P q p q 条件关系 p是q的 条件 q是p的 条件 p不是q的 条件 q不是p的 条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 知识点2　充要条件 一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p⇔q. 知识点3　全称量词和存在量词 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有 的命题是全称量词命题 含有 的命题是存在量词命题 命题形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“ ” “存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“ ” 知识点4　含量词的命题的否定 p 否p 结论 全称量词命题∀x∈M，p(x) ∃x∈M，否p(x) 全称量词命题的否定是 存在量词命题∃x∈M，p(x) 典型例题分析 考向一 　充分条件与必要条件的判断 例　(1)下列命题中，p是q的充分条件的是________． ①p：(x－2)(x－3)＝0，q：x－2＝0； ②p：两个三角形面积相等，q：两个三角形全等； ③p：m<－2，q：方程x2－x－m＝0无实根． (2)“a>2且b>2”是“a＋b>4，ab>4”的________条件． 　充分条件的判断方法 (1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题． (2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件． 变式 　“x>2”是“x2>4”的________条件． 例 在以下各题中，分析p与q的关系： (1)p：x>2且y>3，q：x＋y>5； (2)p：一个四边形的四个角都相等，q：四边形是正方形． 考向二 充分、必要、充要条件的判断 例 指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件)． (1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除； (2)p：x>1，q：x2>1； (3)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形； (4)p：|ab|＝ab，q：ab>0. 　判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 (1)定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断． (3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p1⇒p2⇒…⇒pn，可得p1⇒pn；充要条件也有传递性． 变式 　已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0，且ab>0”的________条件． 考向三 充要条件的证明 例　求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 变式 求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 充要条件证明的两个思路 (1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性． (2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件． 考向四 全称量词命题与存在量词命题的辨析 例 给出下列几个命题： ①至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立； ②对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立； ③对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立； ④存在x，使x2＋2x＋1＝0成立． 其中是全称量词命题的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．0 　全称量词命题或存在量词命题的判断 注意：全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略． 考向五 全称量词命题与存在量词命题的否定 例　写出下列命题的否定． (1)所有矩形都是平行四边形； (2)每一个素数都是奇数； (3)∀x∈R，x2－2x＋1≥0. 　全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：∃x∈M，綈p(x)，全称量词命题的否定是存在量词命题． 例　写出下列命题的否定． (1)有些四边形有外接圆； (2)某些平行四边形是菱形； (3)∃x∈R，x2＋1<0. 　对存在量词命题进行否定时，首先把存在量词改为全称量词，然后对判断词进行否定，可以结合命题的实际意义进行表述． 基础题型训练 一、单选题 1．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．