第一讲 集合及其运算-2023-2024学年高一数学上学期核心题型专练（人教A版2019必修第一册）

第一讲 集合及其运算 知识点总结 知识点1　元素与集合的概念 1．元素：一般地，把 统称为元素(element)，常用小写的拉丁字母 表示． 2．集合：把一些 组成的总体叫做集合(set)，(简称为集)，常用大写拉丁字母 表示． 3．集合相等：指构成两个集合的元素是 的． 4．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是 、 的． 知识点2　元素与集合的关系 1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作 . 2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a 集合A，记作 . 知识点三　常见的数集及表示符号 数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ R 知识点3　列举法 把集合的所有元素 出来，并用 括起来表示集合的方法叫做列举法． 知识点4　描述法 一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有 P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． 知识点5　子集、真子集、集合相等 1．子集、真子集、集合相等 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A中的 元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集 A⊆B (或B⊇A) 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素 ，就称集合A是集合B的真子集 ) 集合相等 如果集合A的 元素都是集合B的元素，同时集合B的 元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A＝B 2.Venn图 用平面上 的内部代表集合，这种图称为Venn图． 3．子集的性质 (1)任何一个集合是它本身的 ，即A⊆A. (2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么 . 知识点6　空集 1．定义：不含 元素的集合叫做空集，记为 . 2．规定：空集是 的子集． 知识点7　并集 知识点8　交集 知识点9　全集与补集 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的 ，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作 . 2．补集 自然语言 对于一个集合A，由全集U中 的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 符号语言 ∁UA＝ 图形语言 典型例题分析 考向一 　集合的定义 【例题】下列说法中，正确的有______．(填序号) ①单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个； ②集合M中有3个元素a，b，c，其中a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC不可能是等腰三角形； ③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合． 答案　② 解析　①不正确. book的字母o有重复，共有3个不同字母，元素个数是3. ②正确. 集合M中有3个元素a，b，c，所以a，b，c都不相等，它们构成的三角形三边不相等，故不可能是等腰三角形． ③不正确. 小于10的自然数不管按哪种顺序排列，里面的元素都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数，集合是相同的，和元素的排列顺序无关． 反思　判断一组对象是否为集合的三依据 (1)确定性：负责判断这组元素是否构成集合． (2)互异性：负责判断构成集合的元素的个数． (3)无序性：表示只要一个集合的元素确定，则这个集合也随之确定，与元素之间的排列顺序无关． 【变式】已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值． 解　∵－3∈A， ∴－3＝a－3或－3＝2a－1， 若－3＝a－3， 则a＝0， 此时集合A中含有两个元素－3，－1，符合题意； 若－3＝2a－1，则a＝－1， 此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意； 综上所述，a＝0或a＝－1. 考向二 集合的三性（确定性、互异性、无序性） 【例题】已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a＝________. 答案　－1 解析　若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1. 当a＝1时，a＝a2，集合A中有一个元素， ∴a≠1. 当a＝－1时， 集合A中含有两个元素1，－1，符合互异性． ∴a＝－1. 【变式】若由a，，1组成的集合与由a2，a＋b,0组成的集合相等，则a2 019＋b2 019的值为________． 答案　－1 解析　由已知可得a≠0， 因为两集合相等，所以有或 所以(舍)或 经检验，a＝－1，b＝0，满足条件， 所以a2