第二讲 集合中的创新性问题-2023-2024学年高一数学上学期核心题型专练（人教A版2019必修第一册）

第二讲 集合中的创新性问题 知识点总结 集合中创新问题的类型有：(1)新定义概念；(2)新定义性质；(3)新定义运算. 解决集合的创新问题一般从要紧扣新概念，新性质或新运算进行推理论证，把问题转化为我们熟知的问题来解决.解决此类问题的通性通法可归纳为三个步骤： 提取——确定解题方向； 加工——探求解题方法； 输出——转化进而解题. 典型例题分析 考向一 　新定义集合的概念 例1 设全集U＝{1，2，3}，集合A，B(A≠B)都是U的子集，若A∩B＝{1}，则称A，B为“理想配集”，记作(A，B)，(A，B)和(B，A)是相同的“理想配集”，则这样的“理想配集”(A，B)有(　　) A.3种 B.4种 C.7种 D.8种 答案　B 解析　由A∩B＝{1}可知，1这个元素在集合A和B中，且A≠B，则集合A，B可能是{1}，{1，2}，{1，3}，{1，2，3}，所以讨论满足条件的集合A和B可能的情况. 因为(A，B)和(B，A)是相同的“理想配集”，所以集合A，B的可能情况有： ①A＝{1}，B＝{1，2}； ②A＝{1}，B＝{1，3}； ③A＝{1}，B＝{1，2，3}； ④A＝{1，2}，B＝{1，3}.所以这样的(A，B)有4种. 　本题主要考查阅读与理解、信息迁移、分析问题和解决问题的能力.本题解题的关键是通过题目信息正确理解“理想配集”的含义. 考向二 　新定义集合的性质 例2 非空集合A具有下列性质：①若x，y∈A，则∈A；②若x，y∈A，则x＋y∈A，下列判断一定成立的是(　　) (1)－1∉A；(2)∈A；(3)若x，y∈A，则xy∈A；(4)若x，y∈A，则x－y∉A A.(1)(3) B.(1)(4) C.(1)(2)(3) D.(2)(3)(4) 答案　C 解析　对于(1)，若－1∈A，则＝1∈A，因此－1＋1＝0∈A； 而对于x＝－1∈A，y＝0∈A时，显然无意义，不满足∈A， 所以－1∉A，故(1)正确； 对于(2)，若x≠0且x∈A，则1＝∈A， ∴2＝1＋1∈A，3＝2＋1∈A， 依此类推可得知，任意n∈N*，n∈A， ∴2 022∈A，2 023∈A，∴∈A，(2)正确； 对于(3)，若x，y∈A，则x≠0且y≠0，由(2)可知，1∈A， 则∈A，所以，xy＝∈A，(3)正确； 对于(4)，由(2)得，1，2∈A，取x＝2，y＝1， 则x－y＝1∈A，所以(4)错误. 考向三 新定义集合的运算 例3 设集合S＝{A0，A1，A2，A3，A4，A5}，在S上定义运算“”为：AiAj＝Ak，其中k为i＋j被4除的余数，i，j＝0，1，2，3，4，5.则满足关系式(xx)A2＝A0的x(x∈S)的个数为________. 答案　3 解析　当x＝A0时 ，(xx)A2＝(A0A0)A2＝A0A2＝A2≠A0； 当x＝A1时，(xx)A2＝(A1A1)A2＝A2A2＝A0； 当x＝A2时，(xx)A2＝(A2A2)A2＝A0A2＝A2≠A0； 当x＝A3时，(xx)A2＝(A3A3)A2＝A2A2＝A 0； 当x＝A4时，(xx)A2＝(A4A4)A2＝A0A2＝A2≠A0； 当x＝A5时，(xx)A2＝(A5A5)A2＝A2A2＝A0. 故满足关系式(xx)A2＝A0的x(x∈S)的个数为3. 有关定义“运算”的问题，在理解运算法则的基础上，试图去寻求运算规律，并进行推理. 基础题型训练 一、单选题 1．定义差集且，已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据差集的定义直接求解即可. 【详解】因为，， 所以， 所以． 故选：B 2．已知集合，，定义，则集合的所有非空真子集的个数为（    ） A．32 B．31 C．30 D．以上都不对 【答案】C 【分析】先计算出，从而计算出非空真子集的个数. 【详解】根据新定义的运算可知， 所以的所有非空真子集的个数为， 故选：C. 3．已知集合，，则集合B中元素的个数是（    ） A．1 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据所给定义求出集合，即可判断； 【详解】解：因为，，所以，即集合B中的元素有，，，共4个， 故选：B． 4．已知集合，若实数，满足：对任意的，都有，则称是集合的“和谐实数对”，则以下集合中，存在“和谐实数对”的是 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：分析题意可知，所有满足题意的有序实数对所构成的集合为，将其看作点的集合，为中心在原点，，，，为顶点的正方形及其内部，A，B，D选项分别表示直线，圆，双曲线，与该正方形及其内部无公共点，选项C为抛物线，有公共点，故选C． 考点：以集合为背景的创新题．