2023年苏科版小升初数学讲义　第十七讲：从问题到方程

第十七讲：从问题到方程 【课堂引入】 一个伟大的设想 早在300多年前法国数学家笛卡尔有一个伟大的设想：首先把宇宙万物的所有问题都转化为数学问题；其次，把所有的数学问题转化为代数问题；最后，把所有的代数问题转化为解方程。虽然笛卡尔的“伟大设想”没有实现，但是充分说明了方程的重要性 。 问题：老师发现同学们的年龄大多是13岁，老师今年32岁。问经过多少年，同学们的年龄是老师的一半？ 第一种方法：枚举法 第二种方法：用方程解决 解：设经过x年，同学的年龄是_______岁，老师的年龄是_________岁。 根据题意可得方程:_____________________________________ 【同步知识梳理】 1. 等式的概念 （1）表示相等关系的式子叫等式，如，，等. （2）判断一个式子是不是等式的方法是：看一看式子中含不含有“=”号.如， ≥都不是等式. 2. 方程的概念 含有未知数的等式叫方程.如，等. 3. 一元一次方程的概念 只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫一元一次方程.如，等都是一元一次方程. （）通常叫做关于的一元一次方程的标准形式.其中，只有一个未知项，一个常数项，方程右边是0. 4. 方程的解 使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解. 5. 方程的解与解方程 使方程左、右两边相等的未知数的值叫方程的解；求方程的解的过程叫解方程.通过观察、估计以及适当的计算可以得出方程的解；检验某一数值是不是方程的解，可以把这一数值代入方程分别计算出方程的左边和右边.如果左边=右边，则是方程的解.如果左边≠右边，则不是方程的解. 6. 等式的性质 （1）等式性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等.如果，那么. （2）等式性质2：等式两边乘同一个数或除以同一个不为0的数，结果仍相等.如果，那么；如果，那么. 7.运用等式的性质解简单的一元一次方程的步骤 （1）方程两边同时加（或减）同一个数； （2）方程两边同时乘以（或除以）同一个数（除数不为0）. 8.“从问题到方程”的一般步骤 1. 审清题意，找出数量间的相等关系 2.设未知数，并用未知数表示其它的量 3.根据等量关系式列出方程。 【课堂练习】 题型一：一元一次方程的定义 例1、下列是一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 变式训练： 1、下列属于一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 2、已知是关于的一元一次方程，则a为_______ 【答案】a=-3 3、已知下列方程：① ；②；③；④； ⑤；⑥.其中一元一次方程的个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 题型二：方程的解 例2、下列方程中，方程的解为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 变式训练： 1、如果方程的解是，那么b的值为（ ） A．3 B．5 C．-5 D．-13 【答案】A 2、下列方程中，解为的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 3、等式m=3不是方程（ ）的解 A．2m=6 B．m－3 =0 C．m(m－3)=4 D．m+3=0 【答案】D 题型三：等式的性质 例3、已知，则下面变形不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 变式训练： 1、已知等式，下列变形正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 2、在等式的两边都____________得到等式，其依据是__________. 【答案】加上8；等式性质1. 3、 等式的下列变形属于等式性质2的变形为（　　） A． B． C． D. 【答案】C 题型四：用等式的性质解方程 例4、解方程（用等式性质解） （1） （2） （3） 【答案】（1）解：两边同时加上15 ，得 化简，得 两边同时除以5（或乘以），得 化简，得 （2）解：两边同时减去，得 化简，得 （3）解：两边同时加上6，得 化简，得 两边同时减去，得 化简，得 变式训练： 1、用适当的数或式子填空，使所得的 结果仍是等式，并说明是根据等式的哪一条性质及怎样变形的. （1）如果，那么 （2），那么 【答案】，根据等式性质1；30，根据等式性质2 2、用等式的性质解下列方程: （2） （3） 【答案】解：（1）两边同加6，得 （2）两边同减去4，得