专题03 空间向量求角度与距离10种题型归类-【寒假分层作业】2024年高二数学寒假培优练（人教A版2019选择性必修第一册）

专题 03 空间向量求角度与距离10种题型归类 · 一、巩固提升练 · 【题型一】异面直线所成的角 · 【题型二】直线与平面所成的角 · 【题型三】二面角的平面铰 · 【题型四】异面直线探索性点 · 【题型五】线面角探索性点 · 【题型六】二面角探索性点 · 【题型七】空间向量求点到面的距离 · 【题型八】翻折型：求异面直线所成的角 · 【题型九】翻折型：求直线与平面所成的角 · 【题型十】翻折型：二面角 二、能力培优练 热点 好题归纳 知识点与技巧： 1、 向量角度： 2、 角度公式： （1）、异面直线夹角（平移角，也是锐角和直角） （2）、直线与平面所成的角（射影角，也是夹角，） （3）、二面角（法向量的方向角，） 判断正负方法： （1） 观察法； （2） 同进同出互补，一进一出相等； 3、 向量计算点到距离公式（棱锥等的高） 【题型一】 异面直线所成的角 1.（2023秋·高二课时练习）如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，P为上的点.且求： (1)λ的值； (2)异面直线PC与所成角的余弦值． 2.（2023春·云南红河·高一校考阶段练习）如图，在三棱锥中，侧面PAC⊥底面ABC，，△PAC是边长为2的正三角形，，E，F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为l.    (1)证明：直线l⊥平面PAC； (2)设点Q在直线l上，直线PQ与平面AEF所成的角为α，异面直线PQ与EF所成的角为θ，求当AQ为何值时， 3.（2023·全国·高二专题练习）如图，平行六面体的所有棱长都相等，平面平面ABCD，AD⊥DC，二面角的大小为120°，E为棱的中点． (1)证明：CD⊥AE； (2)点F在棱CC1上，平面BDF，求直线AE与DF所成角的余弦值． 【题型二】直线与平面所成的角 知识点与技巧： 计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 1.（2023·广西柳州·统考模拟预测）如图，三棱柱的底面是正三角形，侧面是菱形，平面平面，分别是棱的中点.    (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 2.（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）如图，在四棱锥中，，，M是棱PD上靠近点P的三等分点．    (1)证明：平面MAC； (2)画出平面PAB与平面PCD的交线l，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若平面平面ABCD，，，，求l与平面MAC所成角的正弦值． 【题型三】二面角的平面角 1/（2023秋·全国·高二期中）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，在平面内的射影为.    (1)求证：平面； (2)若点为棱的中点，求点到平面的距离； (3)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围. 2.（2023·湖南·校联考模拟预测）如图，四棱锥内，平面，四边形为正方形，，．过的直线交平面于正方形内的点，且满足平面平面. (1)当时，求点的轨迹长度； (2)当二面角的余弦值为时，求二面角的余弦值. 【题型四】异面直线探索性点 1.（2022秋·北京昌平·高二校考阶段练习）如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点.    (1)求证平面； (2)试在线段上确定一点，使得与所成的角是. 2.（2021秋·山东烟台·高二山东省烟台第一中学校考阶段练习）如图，在三棱柱中，侧棱平面，，，，，点是AB的中点． (1)求直线到平面的距离． (2)在线段AB上找一点，使得与CP所成角为60°，求的值． 3.．（2022春·江苏南通·高二统考开学考试）在四棱锥中，，，，，为正三角形，且平面平面ABCD. (1)求二面角的余弦值； (2)线段PB上是否存在一点M（不含端点），使得异面直线DM和PE所成的角的余弦值为？若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由. 【题型五】线面角探索性点 1.（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习）在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形，，，，是的中点.    (1)求证：平面； (2)点在线段上（异于点，），与平面所成角为，求的值. 2.（2022秋·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）如图，平面ABCD，，‖，‖，，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点．    (1)求证：‖平面CPM； (2)