专题 二次函数的压轴题专训（三）等腰直角三角形存在性问题-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年九年级数学上册同步精讲精练（人教版）

九年级上册数学《第二十二章 二次函数》 专题 二次函数压轴题专训（三） ------------- 等腰直角三角形存在性问题 ★★★方法指引： 解决二次函数等腰直角三角形存在性问题的方法： 1、分类：不管是哪种类型的等腰直角三角形问题，分类讨论的依据都是三个角分别为直角. 2、构造K型全等三角形. 3、直角坐标系中的等腰直角三角形，两种常见辅助线作法： 典型题训练 1．（2022•志丹县模拟）如图，已知直线y＝﹣x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过A、B两点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）在x轴上侧的抛物线上有两点E、F（点E在点F的左侧），EF∥x轴，在x轴上是否存在一点P，使得以点P、E、F为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2022•藤县一模）如图，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，过点A的直线y＝x+1与抛物线相交于另一点D． （1）分别求出点A、B、C的坐标； （2）点P为抛物线上一动点，点E为直线AD上一动点，求以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形时点P的坐标． 3．如图，抛物线经过点A（﹣1，0），B（3，0）和C （2，3），顶点为D． （1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式； （2）连接AD，CD，判断△ACD的形状； （3）在抛物线的对称轴上，是否存在一点E，使得△CDE为等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2022•黔东南州一模）抛物线y＝ax2+bx经过点（1，﹣1），现将一块等腰直角三角板ABC（∠ACB＝90°）按照如图的方式放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A、C坐标分别为（0，2）、（﹣1，0）．B点在抛物线y＝ax2+bx图象上． （1）求点B的坐标： （2）求抛物的解析式； （3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线y＝﹣x2+ax+b经过点A（1，0），B（5，0），与y轴交于点C，直线DF与x轴垂直，与抛物线交于点D，其横坐标为2，点E与点D关于抛物线的对称轴对称． （1）求抛物线的解析式和点E的坐标； （2）连接CD，BD，BC，请求出△BDC的面积； （3）点M是直线DF上的动点，点N是x轴上的动点，当以点M、N、E为顶点的三角形是等腰直角三角形时，请直接写出点N的坐标． 6．如图，已知二次函数y＝ax2﹣8ax+6（a＞0）的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，点D在抛物线的对称轴上，且四边形ABDC为平行四边形． （1）求此抛物线的对称轴，并确定此二次函数的表达式； （2）点E为x轴下方抛物线上一点，若△ODE的面积为12，求点E的坐标； （3）F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，抛物线y＝ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H． （1）求抛物线的表达式； （2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积； （3）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，是否存在以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出N的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B，C两点，与y轴交于点D（0，3）． （1）求抛物线的表达式以及点B的坐标； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得DP+CP最小，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． （3）点Q是线段BD上方抛物线上的一个动点．过点Q作x轴的垂线，交线段BD于点E，再过点Q作QF∥x轴交抛物线于点F，连接EF，请问是否存在点Q使△QEF为等腰直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 9．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交点A、B，与y轴交于点C． ①在抛物线对称轴上是否存在一点P，使△BCP为等腰三角形，如果存在，求出P点坐标； ②抛物线上有一动点N，y轴上有一动点M，当△ONM是以∠ONM为直角的等腰直角三角形时，求N点坐标． 10．如图，抛物线y＝（x+1）2+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）点M是抛物线上一动点，且在第三象限； ①当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形A