专题 二次函数的压轴题专训（二）直角三角形存在性问题-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年九年级数学上册同步精讲精练（人教版）

九年级上册数学《第二十二章 二次函数》 专题 二次函数压轴题专训（二） ------------- 直角三角形存在性问题 ★★★方法指引： 解决二次函数直角三角形存在性问的方法： 一、代数法 1、表示点的坐标； 2、表示出三条边（利用两点间距离公式） 3、按分类的情况，利用勾股定理建立方程（组）， 4、求出动点坐标，注意舍去不符合题意的点. 二、斜率法 两条直线互相垂直它们的斜率之积是﹣1.（） 典型题训练 1．如图，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于A、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）． （1）求该抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，试求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2023•咸宁三模）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A、B（0，1），抛物线经过点B，且与直线的另一个交点为C（﹣4，n）． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△BCP为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． ​ 3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC∥x轴，抛物线y＝ax2﹣2ax+3经过△ABC的三个顶点，并且与x轴交于点D、E，点A为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接CD，在抛物线的对称轴上是否存在一点P使△PCD为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2022•灞桥区校级模拟）如图，抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3）． （1）求二次函数的表达式及顶点坐标； （2）连接BC，在抛物线的对称轴上是否存在一点E，使△BCE是直角三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2023秋•潮南区校级月考）如图，直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线y＝a（x﹣2）2+k经过点A，B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P． （1）求a，k的值； （2）求△ACP的面积； （3）抛物线的对称轴上是否存在一点N，使△ABN是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2023•绵阳二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A（1，0），点C（0，3），且BC＝5． （1）求二次函数的解析式； （2）若点D的坐标为（，0），试判断△DCB的形状，并说明理由； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图1．在平面直角坐标系中，直线yx+1分别与x轴，y轴交于点A，B，抛物线yx2+bx+c经过点B，且与直线yx+1的另一个交点为C（﹣4，n）． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点D是抛物线上一动点，且点D的横坐标为t（﹣4＜t＜0），求△DBC面积的最大值； （3）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△BCP是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D． （1）抛物线及直线AC的函数关系式； （2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值． （3）在抛物线对称轴上是否存在一点M，使以A，N，M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标．若不存在，请说明理由． 9．如图，抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3）． （1）求二次函数的表达式及顶点坐标； （2）若点P为抛物线上的一点，且S△ABP＝1，求点P的坐标； （3）连接BC，在抛物线的对称轴上是否存在一点E，使△BCE是直角三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，2），B（0，﹣2），其对称轴为直线，为y轴上一点，直线AC与抛物线交于另一点D． （1）求抛物线的解析式； （2）试在线段AD下方的抛物线上求一点E，使得△ADE的面积最大，并求出最大面积； （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得△ADF是直角三角形？如果存在，求点F的坐标；如果不存在，请说明理由． 11．（2023•利川市模拟）抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和B（4，0），与y轴交于点C，连接BC．点P是线段BC下方