13.3.2(2) 含30º角的直角三角形的性质（课件）-【备教学评一体化】2023-2024学年八年级数学上册课堂教学精品系列（人教版）

新课标 人教版 八年级上册 2023-2024学年度上学期人教版精品课件 第13章轴对称 13.3.2等边三角形（第二课时） 含30°角的直角三角形的性质 学习目标 1.理解并掌握30°直角三角形的性质定理以及对应的几何语言书写 2.熟悉30°直角三角形的性质定理在几何中的应用 探究新知 在直角三角形中,如果一个锐角等于30º,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 如图,△ADC是△ABC的轴对称图形. 因此AB=AD,∠BAD=2×30º=60º. 从而△ABD是一个等边三角形. 你还能用其他方法证明吗? 【问题】将两个相同的含30º角的三角尺摆放在一起,你能借助这个图形,找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗? A C B 探究新知 已知：如图,在Rt△ABC中,∠C=90º,∠A=30º. 求证：BC=AB． D 倍长法 ∴BC= AB.　　 ∴BC= BD.　　 ∵AC⊥BD, 证明1： ∵∠C=90º,∠A=30º, ∴∠B=60º. 延长BC到D,使BD=AB,连接AD, 则△ABD是等边三角形. E BC= AB.　　 截半法 证明2：在BA上截取BE=BC,连接EC. ∵∠B=60º,BE=BC. ∴△BCE是等边三角形， ∴∠BEC=60º,BE=EC. ∵∠A=30º, ∴∠ECA=∠BEC-∠A=60º-30º=30º. ∴AE=EC， ∴AE=BE=BC， ∴AB=AE+BE=2BC. A B C 探究新知 在直角三角形中,如果一个锐角等于30º,那么它所对的直角边等于斜边的一半. ∵在Rt△ABC中,∠C=90º,∠A=30º,　　 A B C ∴BC= AB.　　 含30º角的直角三角形的性质 推导格式： 探究新知 判断下列说法是否正确： (1)直角三角形中30º角所对的直角边等于另一直角边的一半( ) (2)三角形中30º角所对的边等于最长边的一半 ( ) (3)直角三角形中较短的直角边是斜边的一半 ( ) (4)直角三角形的斜边是30º角所对直角边的2倍 ( ) √ 典例解析 【例1】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90º,∠B=30º,CD是斜边AB上的高,AD=3cm,则AB的长度是( D ) A.3cm B.6cm C.9cm D.12cm 注意：运用含30º角的直角三角形的性质求线段长时,要分清线段所在的直角三角形． 解析：在Rt△ABC中, ∵CD是斜边AB上的高, ∴∠ADC=90º,∴∠ACD=∠B=30º. 在Rt△ACD中,AC=2AD=6cm, 在Rt△ABC中,AB=2AC=12cm. ∴AB的长度是12cm.故选D. A C D B 典例解析 【例2】如图,∠AOP=∠BOP=15º,PC∥OA交OB于C,PD⊥OA于D,若PC=3,则PD等于(　　) A.3 B.2 C.1.5 D.1 解析：如图,过点P作PE⊥OB于E， ∵PC∥OA,∴∠AOP=∠CPO, ∴∠PCE=∠BOP+∠CPO =∠BOP+∠AOP=∠AOB=30º. ∵PC=3,∴PE=1.5. ∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OA， ∴PD=PE=1.5.故选C. C O C B P A D 方法总结：含30º角的直角三角形与角平分线、垂直平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形． E 典例解析 【例3】如图,在△ABC中,∠C=90º,AD平分∠BAC,过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线.CD与DB有怎样的数量关系?请说明理由． 解：CD=0.5DB,理由如下： ∵DE⊥AB,∴∠AED=∠BED=90º. ∵DE是∠ADB的平分线, ∴∠ADE=∠BDE. ∵DE=DE,∴△AED≌△BED(ASA)， A E B D C ∴AD=BD,∠DAE=∠B. 在Rt△ACD中, ∵∠CAD=30º, ∵∠BAD=∠CAD=0.5∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD=∠B. ∵∠BAD+∠CAD+∠B=90º， ∴∠B=∠BAD=∠CAD=30º. ∴CD=0.5AD=0.5BD, 即CD=0.5DB. 方法总结：含30º角的直角三角形的性质是表示线段倍分关系的一个重要的依据,如果问题中出现探究线段倍分关系的结论时,要联想此性质． 典例解析 【例4】已知:等腰三角形的底角为15º,腰长为20.求腰上的高. 15º 解:过C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D. ∴∠D