第3章 勾股定理（小结与思考）（复习课件）-2023-2024学年八年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

第3章 · 勾股定理 小结与思考 1 学习目标 2. 体会数形结合思想、方程思想、分类讨论思想和转化思想在解决问题中的作用. 1. 进一步理解并掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，能用勾股定理和逆定理解决一些实际问题； 知识框架 勾股定理 发现 勾股定理 验证 方格(割补) 赵爽弦图 勾股定理的逆定理 勾股定理的简单应用 内容 美国总统证法 毕达哥拉斯拼图 ∵在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴a2+b2=c2 图形拼接，面积不变 直角梯形的面积不变 等积变形 内容 应用 勾股数 a2+b2=c2 直角三角形且∠C=90° 判定三角形为直角三角形 满足a2+b2=c2 的三个正整数 求边长、面积，进行证明等 解决简单的实际问题 求几何体表面上两点间的最短距离 应用条件：在直角三角形中才可以运用 常见变形： a2＝c2－b2, b2＝c2－a2 例1 如图，以Rt△ABC的三条边为直径的半圆的面积分别为S1、S2、S3，已知S1=9，S3=25，求S2. 解:由图形可得 S1=π()2=，S2=π()2=， S3=π()2=， AB2+AC2=BC2，∴S1+S2=(AC2+AB2)=BC2=S3 . ∴S2=S3-S1=25-9=16. 考点分析 考点一 勾股定理的验证 考点分析 例2 将两个全等的直角三角形按图①所示摆放，其中∠DAB=90°, 求证：a2+b2=c2. 证明：如图①，连接DB，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，则DF=EC=b-a. ∵ S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab， S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a(b-a)， ∴ b2+ab=c2+a(b-a). ∴ a2+b2=c2. 请参照上述证法，利用图②完成下面的证明： 将两个全等的直角三角形按图②所示摆放， 其中∠DAB=90°. 求证：a2+b2=c2. 考点分析 证明：如图，连接BD，过点B作BF⊥DE交DE的延长线于点F， 则BF=b-a. ∵ S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab， S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a(b-a)， ∴ ab+b2+ab=ab+c2+a(b-a). ∴ a2+b2=c2. F 巩固练习 1.（2021·山西）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（     ） A．统计思想 B．分类思想 C．数形结合思想 D．函数思想 C c b a c b a c b a c b a c c c c b a a b b b a a 巩固练习 2.（2022·贵州）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是（ ） A．4 B．8 C．12 D．16 B 3.（2022·四川）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为 __． 解:∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），.....．∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个）. 127个 巩固练习 4.（2021·四川）如图是“弦图”的示意图，“弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，它标志着中国古代的数学成就．它由4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，每个直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c．请你运用此图形证明勾股定理：a2+b2＝c2． 解：由题意得: 大正方形面积=c2，小正方形面积=(b-a)2=a2+b2-2ab， 4个小直角三角形的面积=4×ab=2ab， ∵大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积， ∴c2=a2+b2-2ab+2ab=a2+b2． c b a c b a c b a c b a 巩固练习 5.勾