专题10 相似三角形中的基本模型-半角模型-2023-2024学年九年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版）

专题10 相似三角形中的基本模型--半角模型 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1.半角模型（相似模型） 【常见模型及结论】 1）半角模型（正方形中的半角相似模型） 条件：已知，如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF＝45° 结论：如图1，△AMN∽△AFE且．（思路提示：∠ANM=∠AEF，∠AMN=∠AFE）； 图1 图2 结论：如图2，△MAN∽△MDA，△NAM∽△NBA； 结论：如图3，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且； 图3 图4 结论：如图4，△BME∽△AMN∽△DFN. 2）半角模型（特殊三角形中的半角相似模型） （1）含45°半角模型 图1 图2 条件：如图1，已知∠BAC＝90°，； 结论：①△ABE∽△DAE∽△DCA；②；③ （） （2）含60°半角模型 条件：如图1，已知∠BAC＝120°，； 结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③ （） 例1．（2023·山东济南·九年级期中）如图，在正方形中，点E、F分别是、边上的两点，且，、分别交于M，N．下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．①② 例2．（2023·山东滨州·统考中考模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE=，∠EAF=45°，则AF的长为 ． 例3．（2023·福建龙岩·统考一模）如图，,,，如果，则的长是(    )． A． B． C． D． 例4．（2023·广东·九年级专题练习）如图，中，，，点为边上的点，点为线段上一点，且，，，则的长为 ． 例5．（2023·辽宁沈阳·统考二模）在菱形中，．点，分别在边，上，且．连接，． （1）如图1，连接，求证：是等边三角形；（2）平分交于点． ①如图2，交于点，点是的中点，当时，求的长． ②如图3，是的中点，点是线段上一动点（点与点，点不重合）．当，时，是否存在直线将分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为1∶3．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 例6．（2023山东九年级期中）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点（不与点B，C，D重合），AM，AN分别交BD于点E，F，且∠MAN始终保持45°不变． （1）求证：；（2）求证：AF⊥FM；（3）请探索：在∠MAN的旋转过程中，当∠BAM等于多少度时，∠FMN=∠BAM？写出你的探索结论，并加以证明． 例7．（2022·广东深圳·统考二模）【教材呈现】（1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，点为公共顶点，，若固定不动，将绕点旋转，边，与边分别交于点，（点不与点重合，点不与点重合），则结论是否成立______（填“成立”或“不成立”）； 【类比引申】（2）如图2，在正方形中，为内的一个动角，两边分别与，交于点，，且满足，求证：； 【拓展延伸】（3）如图3，菱形的边长为，，的两边分别与，相交于点，，且满足，若，则线段的长为______． 课后专项训练 1．（2023·广东深圳·九年级校考阶段练习）如图，在正方形中，点，分别在边，上，、分别交于点，，连接、，且．下列结论：①，；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（2022·广东深圳·统考一模）如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，F在CD上，，连接AE，AF与对角线BD交于点M，N，连接MF，EN．给出结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 3．如图，正方形中，绕点逆时针旋转到，、分别交对角线于点、，若，则的值为（ ） A．4 B．6 C．8 D．16 4．如图，菱形的边长为4，，分别是，边上的动点，，，则下列结论：①；②为等边三角形；③；④若，则．其中正确个数为（