专题06 相似三角形中的基本模型-半角模型-2023-2024学年九年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题06 相似三角形中的基本模型--半角模型 相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1.半角模型（相似模型） 【常见模型及结论】 1）半角模型（正方形中的半角相似模型） 条件：已知，如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF＝45° 结论：如图1，△AMN∽△AFE且．（思路提示：∠ANM=∠AEF，∠AMN=∠AFE）； 图1 图2 结论：如图2，△MAN∽△MDA，△NAM∽△NBA； 结论：如图3，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且； 图3 图4 结论：如图4，△BME∽△AMN∽△DFN. 2）半角模型（特殊三角形中的半角相似模型） （1）含45°半角模型 图1 图2 条件：如图1，已知∠BAC＝90°，； 结论：①△ABE∽△DAE∽△DCA；②；③ （） （2）含60°半角模型 条件：如图1，已知∠BAC＝120°，； 结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③ （） 例1．（2023·山西·九年级校考期中）如图，在正方形中，点、分别是、边上的两点，且，、分别交于、．下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①②④ B．①④ C．①②③ D．①②③④ 例2．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在BC，CD上．若BE＝2，∠EAF＝45°，则DF的长是 ． 例3．（2023·广东·九年级专题练习）如图，已知中，，，点在边上，．(1)求证：；(2)当，时，求的长． 例4．（2023·广东·九年级专题练习）如图，中，，，点为边上的点，点为线段上一点，且，，，则的长为 ． 例5．（2023·辽宁沈阳·统考二模）在菱形中，．点，分别在边，上，且．连接，．（1）如图1，连接，求证：是等边三角形；（2）平分交于点． ①如图2，交于点，点是的中点，当时，求的长． ②如图3，是的中点，点是线段上一动点（点与点，点不重合）．当，时，是否存在直线将分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为1∶3．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 例6．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，正方形中，交于点交于点，分别交于，连接．求证：； 求的值；若正方形的边长为5，，求的长． 例7．（2023·广东佛山·九年级校考阶段练习）正方形，、分别在边、上（不与端点重合），，与交于点． (1)如图①，若平分，直接写出线段，，之间等量关系； (2)如图②，若不平分，(1)中线段，，之间等量关系还成立吗？若成立请证明；若不成立，请说明理由；(3)如图③，矩形，，．点、分别在边，上，，，求的长度． 课后专项训练 1．（2022春·浙江绍兴·九年级校考阶段练习）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC，DC上，AE、AF分别交BD于点M、N，连接CN、EN，且CN=EN．下列结论：①AN=EN，AN⊥EN；②BE+DF=EF；③∠DFE=2∠AMN；④；⑤图中有4对相似三角形．其中正确结论个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．如图，在矩形纸片ABCD中，点E、F分别在矩形的边AB、AD上，将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，则DF的长是（ ） A．2 B． C． D．3 3．如图，等腰直角三角形，D､E是上的两点，且，过D､E分别作、，垂足分别为M、N，、交于点F，连接、．以下四个结论：①四边形是正方形；②；③；④当时，．其中正确的结论有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2022·安徽·校联考一模）如图，正方形ABCD边长为2，BM、DN分别是正方形的两个外角的平分线，点P，Q分别是平分线BM、DN上的点，且满足∠PAQ＝45°，连接PQ、PC、CQ．则下列结论：①BP•DQ＝3.6；②∠QAD＝∠APB；③∠PCQ＝