24.1 圆的有关性质(题型精讲精练）-【题型分类精粹】2023-2024学年九年级数学上学期期中期末复习讲练系列【考点闯关】（人教版）

24.1 圆的有关性质 1.理解圆的有关概念和圆的对称性； 2.能应用圆半径、直径、弧、弦、弦心距的关系，�圆的对称性进行计算或证明； 3.养成学生之间发现问题、探讨问题、解决问题的习惯. 4.理解圆的对称性； 5.掌握垂径定理及其推论； 6.学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题． 7.了解圆心角、圆周角的概念； 8.理解圆周角定理及其推论，能灵活运用圆周角的定理及其推理解决有关问题； 9.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以10.推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用． 24.1 圆的有关性质 1 一、主干知识 2 考点1：圆的认识 2 考点2：垂径定理 2 考点3：垂径定理的应用 3 考点4：弧、弦、圆心角的关系 3 考点5：圆周角定理 3 二、分类题型 4 题型一 圆的相关概念 4 题型二 垂径定理 5 命题点1　垂径定理求线段长 5 命题点2　垂径定理求角 5 命题点3　垂径定理与实际问题 6 题型三 弦、弧、圆心角关系及圆周角定理 6 命题点1　弦、弧与圆周角相关概念 6 命题点2　圆周角定理 6 命题点3　直径所对圆周角等于90° 7 命题点4　圆内接四边形 7 三、分层训练：课堂知识巩固 8 一、主干知识 考点1：圆的认识 （1）圆的定义 定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 定义②：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． （2）与圆有关的概念 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等． 连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． （3）圆的基本性质：①轴对称性．②中心对称性． 考点2：垂径定理 （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理的推论 推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧． 推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． 考点3：垂径定理的应用 垂径定理的应用很广泛，常见的有： （1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 考点4：弧、弦、圆心角的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 考点5：圆周角定理 （1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可． （2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． （3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握． （4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角． 二、分类题型 题型一 圆的相关概念 【例题精析1】 已知的直径为，点P在上，则的长为（　　） A． B． C． D． 【例题精析2】 下列结论正确的有（　　） ①劣弧一定比优弧短．②面积相等的两个圆是等圆．③过圆心的直线是圆的直径．④圆上任意两点间的部分是圆的弦．