21.1 一元二次方程及其解法(题型精讲精练）-【题型分类精粹】2023-2024学年九年级数学上学期期中期末复习讲练系列【考点闯关】（人教版）

21.1 一元二次方程及其解法运用 1．理解一元二次方程的概念； 2．理解一元二次方程根的意义； 3．会把一元二次方程化为一般形式； 4.了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程； 5.掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤； 6.通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力； 7.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念； 8.能熟练应用公式法解一元二次方程； 9.掌握因式分解法解方程的原理和常见方法； 10.掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用。 解读：1.掌握一元二次方程需要满足的条件； 2.知道根的用法； 3.会根据一般式判断方程的． 4.理解配方法的应用原理； 5.区分代数式配方与方程配方； 6.通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想； 7.理解方程的根与系数之间的关系。 21.1 一元二次方程及其解法运用 1 一、主干知识 3 考点1：一元二次方程的定义 3 考点2：一元二次方程的一般形式 3 考点3：一元二次方程的解 3 考点4：解一元二次方程-直接开平方 4 考点5：解一元二次方程-配方法 4 考点6：解一元二次方程-公式法 4 考点7：解一元二次方程-因式分解法 5 考点8*：换元法解一元二次方程 5 考点9：根的判别式 5 考点10：根与系数的关系 5 考点11：配方法的应用 6 二、分类题型 7 题型一 一元二次方程的定义 7 题型二 一元二次方程的一般形式 11 题型三 一元二次方程的根 14 题型四 配方法解一元二次方程 22 命题点1　开平方法解一元二次方程 22 命题点2　配方法解一元二次方程 24 题型五 公式法解一元二次方程 31 命题点1　公式法解一元二次方程 31 题型六 因式分解法解一元二次方程 39 命题点1　因式法解一元二次方程 39 命题点2　换元法解一元二次方程 45 题型七 根的判别式 51 命题点1　判断根的情况 51 命题点2　根据根的情况求参数 52 题型八 根与系数的关系 58 三、分层训练：课堂知识巩固 67 一、主干知识 考点1：一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 考点2：一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 考点3：一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）． 考点4：解一元二次方程-直接开平方 形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±； 如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±． 注意： ①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 考点5：解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；