3.4函数的应用（一）学案-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

章节

3.4

课题

函数的应用（一）

教

学

目

标

体会函数与现实世界的密切联系，初步理解函数模型是描述客观世界中变量关系

和规律的重要数学语言和工具。

教学重点

一次函数模型、二次函数模型、幂函数模型

教学难点

分段函数模型及应用

【新知探究】

一、一次函数模型

形如y＝kx＋b(k≠0)的函数模型是一次函数模型．应用一次函数的图象及性质解题时，

应注意以下几点．

（1）一次函数的图象是一条直线．（2）一次函数有单调递增和单调递减两种情况．

（3）建立一次函数模型，常设为y＝kx＋b(k≠0)，然后用待定系数法求出k，b的值，

再根据单调性求最值，或利用方程、不等式思想解题．

二、二次函数模型

形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数模型是二次函数模型．二次函数模型是重要的数学模型之一，依据实际问题建立二次函数的解析式后，利用配方法求最值简单易懂，有时也可以依据二次函数的性质求最值，从而解决利润最大、用料最省等问题．

三、幂函数模型

能用幂型函数f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0)表达的函数模型叫做幂函数模型，其增长情况随xα中α的取值而定，常见的有二次函数模型和反比例函数模型．

四、分段函数模型

(1)现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，如出租车计费、个人所得税等，分段函数是刻画现实问题的重要模型．

(2)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其看成几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起．要注意各段自变量的范围，特别是端点值.

五、建立函数模型的步骤

(1)对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的主动、被动关系，并用x，y分别表示．

(2)建立函数模型，将变量y表示为x的函数，此时要注意函数的定义域．

(3)求解函数模型，并还原为实际问题的解．