专题4.1 代数式（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年七年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题4.1 代数式（全章知识梳理与考点分类讲解）

【知识点1】整式的相关概念

1．单项式：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．

特别说明：

（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．

（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．

2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．

特别说明：

（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．

（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．

（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式．

3. 多项式的降幂与升幂排列：
　　把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．

特别说明：

（1）利用加法交换律重新排列时，各项应连同它的符号一起移动位置；
（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列．

4．整式：单项式和多项式统称为整式．

【知识点2】整式的加减

1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项．

特别说明：辨别同类项要把准“两相同，两无关”：

（1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；

（2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关．

2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．

特别说明：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变．

3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变．

4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变．

5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项．

【考点一】整式及相关概念

①单项式及其系数和次数

【例1】找出下列各代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数．

，，，，，，，．

 【分析】由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个字母或一个数也是单项式，所有字母次数的和是单项式的次数．

解：以上代数式是单项式的有：，，，，，．

的系数为，次数为3；

的系数为，次数为1；

，系数为，次数为7；

，系数为，次数为6；

2，系数为2，次数为0；

，系数，次数为1．

【点拨】本题主要考查单项式的相关概念，属于基础题目．

【举一反三】

【变式1】的系数与次数分别是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据单项式系数、次数的定义求解即可．

解：单项式的系数与次数分别为，

故选：A．

【点拨】本题考查了单项式，熟练掌握单项式的系数、次数的定义是解题的关键．

【变式2】观察下列单项式特点：，，，，…，第n个单项式为      （n为正整数）．

【答案】

【分析】根据已知的4个单项式找出规律即可求解．

解：当n是奇数时，第n个单项式是正数，n是偶数时，则第n个单项式是负数．

当时，系数的绝对值为，x的次数为2，a的次数为2；

当时，系数的绝对值为，x的次数2，a的次数为3；

当时，系数的绝对值为，x次数为2，a的次数为4

…以此类推，则可以判断当第n个单项式时，其表达式为．

故答案为：．

【点拨】本题主要考查学生结合整式知识点探究归纳规律，解题的关键是根据已知的单项式，总结出一般规律．

②多项式的项和次数

【例2】已知是六次四项式，且的次数与它相同．

(1)求、的值；

(2)请写出多项式的各项，并求出各项的系数和．

【答案】(1)，

(2)多项式的各项为：，，，；各项的系数和为

【分析】（1）用多项式的次数，单项式的次数分别列方程求解即可；

（2）由（1）得到的值，代入计算得到该多项式的各项及各项系数，再把系数求和即可．

解：是六次四项式，

，