4.4.角的比较讲义2023-2024学年北师大版数学七年级上册

4.4.角的比较讲义北师大版七年级数学上册

基础知识详解

知识点一   角的大小比较

内容叙述	文字	图解	特例
	与线段的比较类似，我们也有两种方法来比较角的大小，一种方法为度量法：可以用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小，另一种方法为叠合法：即把他们叠合在一起比较大小.		1周角=360°，1直角=90°， 1平角=180°     钝角:90°<∠α < 180°  锐角: 0°<∠β < 90°  1周角>1平角>钝角>1直角>锐角
知识   详解	(1)度量法：先用量角器测量出各角的度数，再按照角的度数比较大小，从而确定两个角的大小关系．(使用量角器应注意的问题．即三点：对中；重合；读数) 角大度数大，角小度数小．量角器使用口诀： 中心对顶点  零线对一边  度数看另一边 (2)叠合法：两个角比较大小时，把两个角的顶点和一条边分别重合，另一条边放在重合边的同侧，根据另一条边的位置确定角的大小． 如比较∠ABC和∠DEF的大小，可把∠DEF移到∠ABC上，使它的顶点E和∠ABC的顶点B重合，一边ED和BA重合，另一边EF和BC落在BA的同一侧． ①如果EF和BC重合(如图1)，那么∠DEF等于∠ABC，记作∠DEF＝∠ABC； ②如果EF落在∠ABC的外部(如图2)，那么∠DEF大于∠ABC，记作∠DEF＞∠ABC； ③如果EF落在∠ABC的内部(如图3)，那么∠DEF小于∠ABC，记作∠DEF＜∠ABC.
特别提醒	（1）强调角的大小只与开口大小有关，与边的长短无关，以及角的符号与小于号、大于号书写时的区别．（2）角的大小具有传递性：若∠1＞∠2， ∠2＞∠3，则∠1＞∠3 。
新知巧记	比较两个角的大小，测量、叠合均可以。若用叠合来比较，“重合”“同侧”要记牢。

出题角度1     比较角的大小

例1.如图，求解下列问题：(1)比较∠COD和∠COE的大小；(2)借助三角尺，比较∠EOD和∠COD的大小；(3)用量角器度量，比较∠BOC和∠COD的大小．

分析：(1)可用叠合法比较．∠COD和∠COE有一条公共边OC，而OD在∠COE的内部，故∠COD小；(2)我们要选择三角尺的一个角来估算这两个角的度数，就可以达到比较的目的；(3)通过度量容易得出结论．

解：(1)由图可以看出，∠COD<∠COE.

(2)用三角尺中30°的角分别和这两个角比较，可以发现∠EOD＜30°，∠COD＞30°，所以∠EOD＜∠COD.

(3)通过度量可知：∠BOC＝46°，∠COD＝44°，所以，∠BOC>∠COD.

思路归纳：比较角的大小常用的方法为叠合法和度量法，另外还有以下的几种特别的方法：直接采用目测的方法、传递法、为几个角的和的角大于其中每一个角等。

针对训练1． 把一副三角尺如图所示拼在一起．

（1）写出图中∠A、∠B、∠BCD、∠D、∠AED的度数；

（2）用小于号“＜”将上述各角连接起来．

出题角度2      角的计算

例2． 在15°、65°、75°、135°的角中，能用一副三角尺画出来的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

解析：根据三角尺角度，利用和、差关系解答即可．15°=45°﹣30°，65°不能画出，75°=30°+45°，

135°=45°+90°，所以能用一副三角尺画出来的有15°、75°，135°共3个，

答案：C

思维点拨：与三角尺有关的角的计算，熟记三角尺的角度，利用和、差关系求解是解答此题的关键．

针对训练2． 如图，小明将自己用的一副三角板摆成如图形状，如果∠AOB=155°，那么∠COD等于（　　）

A．15° B．25° C．35° D．45°

知识点二   角的平分线

内容叙述	文字语言	图示	符号语言
	从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线，类似地还有角的三等分线等.		通过对角平分线的理解，可以得到如下数量关系：若OC平分∠AOB，则（1）∠1＝∠2；（2）∠1＝∠2＝∠AOB；（3）∠AOB＝2∠1＝2∠2． 反之结合上图如果角之间满足上面的数量关系也可说明OC是∠AOB的平分线.
知识   详解	(1)从定义中可知： ①角平分线是以角的顶点为端点的特殊射线，它在角的内部；②角平分线把角分成两个相等的角． (2)角平分线的表示：①OC是∠AOB的平分线；②∠AOC＝∠COB＝∠AOB，∠AOB＝2∠AOC＝2∠COB. (3)作角平分线的方法：①利用量角器量出角的度数，取角的度数的一半并画出射线；②折叠：把已知角的两边重合后再折叠，可得已知角的平分线．
特别提醒	（1）角的平分线是一条在角的内部的射线，不是线段，也不是直线。 （2）角的平分线把角分成了两个相等的角。 （3）角也有三等分线、四等分线……

出题角度1   对角的平分线的理解

例3．如图，OM平分∠AOB，OC是∠AOB内部的一条射线，ON平分∠BOC，有以下说法：

①∠AOC=∠BOM            ②∠CON=∠BON     ③∠AOC=∠AOM+∠COM

④∠AOC=∠BOM+∠COM    ⑤∠AOC=2∠MOC+∠COB   ⑥∠AOC=2∠MOC+2∠CON  ⑦∠AOC=2∠MON

其中正确的有（　　）个．

A． 4 B． 5 C． 6 D．

解析： 根据角平分线的定义对各小题进行逐一分析即可．

∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，∴∠AOM=∠BOM，∠BON=∠CON．

①∵∠AOM=∠BOM，∴∠AOC≠∠BOM，故本小题错误；

②∵ON平分∠BOC，∴∠CON=∠BON，故本小题正确；

③由图可知，∠AOC=∠AOM+∠COM，故本小题正确；

④∵∠AOC=∠AOM+∠COM，∠AOM=∠BOM，∴∠AOC=∠BOM+∠COM，故本小题正确；

⑤∵∠AOC=∠AOM+∠MOC，∠AOM=∠BOM，∠BOC+∠MOC=∠BOM，∴∠AOC=2∠MOC+∠COB，故本小题正确；

⑥∵∠AOC=2∠MOC+∠COB，∠COB=2∠CON，∴∠AOC=2∠MOC+2∠CON，故本小题正确；

⑦∵∠AOM=∠BOM=2∠CON+∠MOC，∠BOM=2∠CON，∴∠AOC=∠AOM+∠MOC=2∠CON+∠MOC+∠MOC=2∠MON．故本小题正确．

答案：C

思维点拨： 本题考查的是角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．

针对训练3．下列关于角平分线的说法正确的是（　　）

	A．	若∠AOP=∠BOP，则射线OP是∠AOB的角平分线
	B．	若∠AOP=2∠BOP，则射线OP是∠AOB的角平分线
	C．	若∠AOP=∠BOP，则射线OP是∠AOB的角平分线
	D．	若2∠AOP=2∠BOP=∠AOB，则射线OP是∠AOB的角平分线

出题角度2     利用角的平分线求角的度数

例4.如图，AOC为一直线，OD是∠AOB的平分线，∠BOE＝∠EOC，∠DOE＝72°，求∠EOC的度数．

分析：设∠AOB＝x°，因为OD是∠AOB的平分线，所以∠BOD＝°；观察图形知，∠AOB和∠BOC互为补角，所以∠BOC＝(180－x)°；又因为∠BOE＝∠EOC，所以∠BOE＝∠BOC＝°；然后根据∠DOE＝∠BOD＋∠BOE＝72°可列出方程＋＝72，解方程求出x的值后，再根据∠EOC＝(180－x)°求出∠EOC的度数．

解：设∠AOB＝x°，则∠BOD＝°，∠BOC＝(180－x)°，∠BOE＝°，

由∠DOE＝72°可得＋＝72.解这个方程，得x＝72.∴∠EOC＝(180－x)°＝72°.

思维点拨：本题中角之间的关系较复杂，直接求解有困难，可以通过设未知数、列方程的方法求解．

针对训练4．已知，如图，∠AOB=150°，OC平分∠AOB，AO⊥DO，求∠COD的度数．

思维误区诊断

误区一    对角的平分线的定义理解不正确

例1.下列说法中，能说明OP为∠AOB的平分线的有__________（只填序号）．

①；②；③；④；

⑤

错解：②③

正解：⑤