专题11.6 平面直角坐标系中的面积问题（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（沪科版）

专题11.6 平面直角坐标系中的面积问题（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】已知点的坐标求图形面积 【考点一】三角形有一边在坐标轴上 【例1】（2021秋·全国·八年级专题练习）如图，四边形OABC各个顶点的坐标分别是O（0，0），A（3，0），B（5，2），C（2，3）．求这个四边形的面积． 【答案】． 【分析】分别过C点和B点作x轴和y轴的平行线，根据S四边形ABCO=S矩形OHEF﹣S△ABH﹣S△CBE﹣S△OCF结合三角形面积公式解题． 解：分别过C点和B点作x轴和y轴的平行线，如图， 则E（5，3）， A（3，0），B（5，2），C（2，3）, 所以S四边形ABCO=S矩形OHEF﹣S△ABH﹣S△CBE﹣S△OCF =5×3﹣×2×2﹣×1×3﹣×3×2 =． 【点拨】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系，会运用面积的和差计算不规则图形的面积． 【举一反三】 【变式1】（2021秋·八年级单元测试）如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A(-5，0)，B(-3，0)，C(-1，2)，求出△ABC的面积．   【答案】2 【分析】首先根据题意求出AB的长度和AB边上的高的长度，然后根据三角形面积公式求解即可． 解：作CD⊥x轴，垂足为点D． A(- 5，0)，B(- 3，0)，C(-1，2)， OA=5，OB=3，CD=2， AB=OA-OB=5-3=2． S△ABC=AB·CD=×2×2=2． 【点拨】此题考查了网格中三角形面积的求法，解题的关键是根据题意求出AB的长度和AB边上的高． 【变式2】（2021秋·全国·八年级专题练习）已知A(0，0)，B(9，O)，C(7，5)，D(2，7)，求四边形ABCD的面积． 【答案】42 【分析】把原图形分解成一个三角形加一个梯形加一个三角形，再利用面积公式即可求解． 解：过点C作CF⊥x轴于点F，过D作DE⊥x轴于点E 则AE=2，DE=7，BF=2，CF=5，EF=5 ∴   ． 【点拨】本题考查平面直角坐标系下的不规则图形面积计算，灵活拆解不规则图形是解题关键． 【考点二】三角形有一边平行于坐标轴 【例2】（2023春·北京朝阳·七年级校考阶段练习）已知在平面直角坐标系中有三点A（﹣2，1）、B（3，1）C（2，3），请回答如下问题： （1）在坐标系内描出点A、B、C的位置； （2）求出以A、B、C三点为顶点的三角形的面积． 【答案】（1）5． 【分析】（1）根据平面直角坐标系的知识即可描出点A，B，C的位置； （2）将AB看成底边，则C到AB的距离为高，根据图象得出高为2，再用三角形的面积公式即可得出三角形ABC的面积． 解：（1）A，B，C的位置如图所示， （2）以AB 为底边，则C到AB的距离为AB边上的高， ∵A（-2，1），B（3，1）， ∴AB=3-（-2）=5， 由图可知C到AB的距离为2， ∴三角形ABC的面积为5．              【点拨】本题主要考查平面直角坐标系和三角形的面积公式，关键是要牢记三角形的面积公式，能恰当的找到三角形ABC的底边和高． 【举一反三】 【变式1】（2022春·黑龙江牡丹江·七年级校考期末）如图在直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（3，c）三点，若a，b，c满足关系式：＝0． （1）求a，b，c的值． （2）求△ABC的面积． （3）是否存在点P（x，2x），使△BCP的面积为△AOB的面积的两倍？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)a，b，c的值分别为2，3，4；(2)△ABC的面积为6；(3)存在，点P的坐标为（0，0）， （6，12） 【分析】（1）根据“几个非负数相加和为0，则每一个非负数的值均为0”解出a,b,c的值； （2）由点A、B、C的坐标可得△ABC的面积； （3）设存在点P（x，2x），使△BCP的面积为△AOB的面积的两倍，根据面积列出方程，解方程即可． （1）解：∵， ∴， ∴， （2）∵A（0，2），B（3，0），C（3，4）； ∴ （3）设存在点P（x，2x），使△BCP的面积为△AOB的面积的两倍， ∵， ∴， ， 即， 解得或， ∴P的坐标为（0,0），（6,12）． 【点拨】本题考查了坐标与图形，非负数的性质，三角形的面积，数形结合是解题的关键． 【变式2】（2023秋·八年级单元测试）如图，已知四边形． （1）分别写出点的坐标； （2）试求四边形的面积．（网格中每个小正方形的边长均为1）． 【答案】(1),,,； (2) 【分析】（1）根据各点所在的象限，对应的横坐标、纵坐标，分别写出点的坐标； （2）