专题10 图形的相似动点培优题型专练（定值、最值、存在性精选30道）-2023-2024学年九年级数学上册专题训练+备考提分专项训练·2024精华版（北师大版）

专题10 图形的相似动点培优题型专练 定值、最值、存在性精选30道 【类型一 动点定值问题】 1．一次数学综合实践活动课上．小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，是的角平分线，可以证明    【基础巩固】 （1）参照小慧提供时思路，利用图（2）请证明上述结论； （2）A、B、C、是同一直线l上从左到右顺次的点，点P是直线外一动点，平分； 【尝试应用】①若，，延长至D，使，若的长为定值，请求出这个值； 【拓展提高】②拓展：若，，，P点在l外运动时，使为定值，直接写出的长为 ___________（用含m、n的式子表示）． 2．如图，已知直线分别交轴、轴的正半轴于两点，直线交轴负半轴于点．    (1)求证：无论取何值，直线必过一定点； (2)点分别为延长线上的点，且到轴的距离相等，当时， ①试证明直线与直线互相垂直； ②连接，是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 3．已知中，，，将绕点A顺时针旋转，得到，连接．    (1)如图（1），当时，连接，求的度数； (2)如图（2），连接，问的值是否为定值？若是，请说明理由并求出此值； (3)在旋转过程中，当以B，C，A，E为顶点的四边形是平行四边形时，求的长． 4． (1)探索发现：如图，在中，，，是边上一点，是边上一点，，求证：。    (2)尝试应用：如图，在中，，，以为直角顶点作等腰直角三角形，点在上，点在上，若，求的长．    (3)拓展提高：如图，在等腰中，，为中点，为中点，过点作直线交于，在直线上取一点，连接交于点；若当时，的值为定值，请直接写出该定值为_____．    5．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，则的值为____； （2）如图2，在矩形ABCD中，AD=5，CD=3，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，则的值为______； （3）如图3，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：； （4）如图4，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=3，AD=9，将△ABD沿BD翻折，点A落在点C处得△CBD，点E，F分别在边AB，AD上，连接DE，CF，DE⊥CF．请问是定值吗?若是，直接写出这个定值，若不是，请说明理由． 6．在正方形中，点G是边上的一个动点，点在边上，，且，的延长线相交于点P． (1)如图1，当点E与点C重合时，求的度数； (2)如图2，当点E与点C不重合时，问：（1）中的度数是否发生变化，若有改变，请求出的度数，若不变，请说明理由； (3)在（2）的条件下，作于点N，连接，取的中点M，连接，在点G的运动过程中，求证：为定值． 7．如图1，为等边三角形，，点D为边上的动点（点D不与点B，C重合），且，交边于点E． （1）求证：； （2）如图2，当D运动到中点时，求线段的值． （3）如图3，在（2）的基础上，点P为上一动点（点P不与点A，D重合），连接，将线段绕点C逆时针旋转得到，连接． ①的度数是定值吗？为什么？ ②直接写出的最小值． 8．如图，中，是边上的中点，是线段上的一动点，且∥分别交直线于两点． （1）求的长； （2）如图1，当时，求的值； （3）如图2，随点位置的改变，是否为一个定值？如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由． 9．背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按如图1所示的位置摆放（点、、在同一条直线上），小组讨论后，提出了下列三个问题，请你帮助解答： （1）如图2，将正方形绕点按逆时针方向旋转，则与的数量关系为___________，位置关系为___________．（直接写出答案） （2）如图3，把背景中的正方形分别改写成矩形和矩形，且，，，将矩形绕点按顺时针方向旋转，求与的数量关系和位置关系； （3）在（2）的条件下，小组发现：在旋转过程中，的值是定值，请求出这个定值．（直接写出答案） 10．如图1，等腰中，，点D是底边上的动点，将绕点A逆时针旋转至处，且，连接． （1）若，如图2所示 ①求的大小 ②过点D、E分别作的垂线，垂足为G、H，证明：的和为定值，并求出这个定值； （2）求的值．（用含a的代数式表示） 【类型二 动点最值问题】（最小值） 11．如图①，是边长为2的等边三角形，边在射线上，且，点从点出发，点是射线上的一动点． (1)当不与重合时，将绕点逆时针方向旋转得到，则　　． (2)如图②，在（1）的条件下，当点在线段上时，周长是否存在最小值？若存在求出周长的最小值；若不存在，请说明理由． (3)如图③，当点在射线上运动时，以为斜边做等腰直角，连接，求最小值． 12．四边形与四边形都是正方形，且有一个