第二章 第3节 函数的奇偶性与周期性-【导与练】2024高考文科数学一轮复习高中总复习第1轮教学课件PPT（旧教材，人教A版）

第3节　函数的奇偶性与周期性 [考试要求] 1.了解函数奇偶性的含义,结合三角函数了解周期性与对称性及其几何意义. 2.会依据函数的性质进行简单的应用. 课前预习 巩固主干知识 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 ,那么函数f(x)就叫做偶函数 关于 对称 奇函数 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 ,那么函数f(x)就叫做奇函数 关于 对称 f(-x)=f(x) y轴 f(-x)=-f(x) 原点 2.函数的周期性 (1)周期函数:T为函数f(x)的一个周期,则需满足的条件: ①T≠0; ②f(x+T)=f(x)对定义域内的任意x都成立. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 ,那么这个 就叫做f(x)的最小正周期. 最小的正数 最小正数 [重要结论] 1.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性. 2.函数周期性常用结论:对f(x)定义域内任一自变量的值x, (1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0). 3.函数对称性常用结论: (1)f(a-x)=f(a+x)⇔f(-x)=f(2a+x)⇔f(x)=f(2a-x)⇔f(x)的图象关于直线x=a对称. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)若函数f(x)为奇函数,则f(0)=0.(　　) (2)若f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,则y=f(x)g(x)为奇函数.(　　) (3)若T是函数f(x)的一个周期,则kT(k∈N*)也是函数的一个周期.(　　) (4)若函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),则f(x)的图象关于直线x=2对称.(　　) × × √ √ 2.(教材改编题)下列函数中为偶函数的是(　 　) A.y=x2sin x B.y=x2cos x C.y=|ln x| D.y=2-x B 解析:根据偶函数的定义知偶函数满足f(-x)=f(x)且定义域关于原点对称, A选项为奇函数;B选项为偶函数;C选项定义域为(0,+∞),不具有奇偶性;D选项既不是奇函数,也不是偶函数.故选B. 3.(2023·贵州师大附中模拟)已知f(x)为R上的奇函数,满足f(x+4)=-f(x),且当x∈[0,4]时,f(x)=-x2+4x,则f(2 022)=(　 　) A.-4 B.-3 C.4 D.3 A 解析:因为奇函数满足f(x+4)=-f(x),所以f(x+4+4)=-f(x+4)=f(x),即f(x+ 8)=f(x),所以函数f(x)的周期为8,所以f(2 022)=f(252×8+6)=f(6)= -f(2)=-(-22+4×2)=-4.故选A. 课堂突破 提升素养能力 考点一　函数的奇偶性 [例1] 判断下列函数的奇偶性. 微点1　判断函数的奇偶性 [例1] 判断下列函数的奇偶性. 解:(2)显然函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称. 因为当x<0时,-x>0,则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x); 当x>0时,-x<0,则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x). 综上可知,对于定义域内的任意x,总有f(-x)=-f(x)成立,所以函数f(x)为奇函数. [例1] 判断下列函数的奇偶性. 判断函数的奇偶性的必备条件 (1)定义域关于原点对称,否则即为非奇非偶函数. (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系,在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式[f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)]是否成立. A.既是奇函数也是偶函数 B.既不是奇函数也不是偶函数 C.是奇函数,但不是偶函数 D.是偶函数,但不是奇函数 A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1 C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1 微点2　函数奇偶性的应用 [例2] (1)(2023·黑龙江哈尔滨模拟)函数f(x)=x(ex+e-x)+1在区间[-2,2]上的最大值与最小值分别为M,N,则M+N的值为(　　) A.-2 B.0 C.2 D.4 解析:(1)依题意,令g(x)=x(ex+e-x),显然函数g(x)的定义域为R, 则g(-x)=-x(e-x+ex)=-g(x),即函数g(x)是奇函数, 因此,函数g(x)在区间[-2,2]上的最大值与最小值的和为0,而f(x)=g(x)+1, 则有M=g(x)max+1,N=g(x)min+1,于是得M+N=g(x