第十二章 第4节 不等式的证明-【导与练】2024高考文科数学一轮复习高中总复习第1轮教学课件PPT（旧教材，人教A版）

第4节　不等式的证明 [考试要求] 1.通过一些简单的问题了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法与放缩法. 2.会利用基本不等式或柯西不等式进行简单证明. 课前预习 巩固主干知识 a-b>0 1.比较法 比较法是证明不等式最基本的方法,可分为作差比较法和作商比较法两种. a-b<0 a-b=0 2.综合法与分析法 (1)综合法:从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立. (2)分析法:从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的 条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立. 3.反证法与放缩法 (1)反证法:证明命题时先假设要证的命题 ,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等) 的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,我们把这种证明方法称为反证法. 充分 不成立 矛盾 (2)放缩法:证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值 或 ,简化不等式,从而达到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法. 放大 缩小 不小于 5.柯西不等式 (1) 二维形式的柯西不等式:若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2(当且仅当ad=bc时,等号成立). (2) 柯西不等式的向量形式:设α,β是两个向量,则|α·β|≤|α||β|,当且仅当β是零向量,或存在实数k,使α=kβ时,等号成立. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). × √ (2)用反证法证明命题“a,b,c全为0”的假设为“a,b,c全不为0”.(　　) (3)若实数x,y适合不等式xy>1,x+y>-2,则x>0,y>0.(　　) (4)若m=a+2b,n=a+b2+1,则n≥m.(　　) √ √ A B　 C　 课堂突破 提升素养能力 考点一　比较法证明不等式 [例1] 设不等式|2x-1|<1的解集为M. (1)求集合M; 解:(1)由|2x-1|<1得-1<2x-1<1, 解得0<x<1.所以M={x|0<x<1}. (2)若a,b∈M,试比较ab+1与a+b的大小. 解:(2)由(1)和a,b∈M可知0<a<1,0<b<1, 所以(ab+1)-(a+b)=(a-1)(b-1)>0. 故ab+1>a+b. 比较法证明不等式的方法与步骤 (1)作差比较法. ①作差比较法证明不等式的一般步骤:作差→变形→判号→结论. ②作差比较法的应用范围:当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时,一般使用作差比较法. (2)作商比较法. ①作商比较法证明不等式的一般步骤:作商→变形→判断→结论. ②作商比较法的应用范围:当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时,一般使用作商比较法. 提醒:在使用作商比较法时,要注意说明分母的符号. 考点二　综合法证明不等式 [例2] (2022·全国甲卷)已知a,b,c均为正数,且a2+b2+4c2=3,证明: (1)a+b+2c≤3; 证明:(1)法一(平方转化基本不等式证明) 因为a2+b2+4c2=3, 所以(a+b+2c)2=a2+b2+4c2+2(ab+2bc+2ac)≤3+(a2+b2)+[b2+(2c)2]+ [a2+(2c)2],当且仅当a=b=2c=1时,取等号, 所以(a+b+2c)2≤3+2[a2+b2+(2c)2]=9.又a,b,c均为正数,所以a+b+2c≤3. 法二(柯西不等式证明) 因为a2+b2+4c2=3,所以根据柯西不等式有3×3=(a2+b2+4c2)(12+12+12)≥ (a+b+2c)2,当且仅当a=b=2c=1时,取等号. 又a,b,c均为正数,所以a+b+2c≤3. [例2] (2022·全国甲卷)已知a,b,c均为正数,且a2+b2+4c2=3,证明: 利用综合法证明不等式时,常用的不等式有 ①a2≥0; ②|a|≥0; 考点三　分析法证明不等式 [例3] 设a,b,c>0,且ab+bc+ca=1.求证: [例3] 设a,b,c>0,且ab+bc+ca=1.求证: 用分析法证明不等式时,不要把“逆求”错误地作为“逆推”,分析的过程是寻求结论成立的充分条件,而不一定是充要条件,同时要正确使用“要证”“只需证”这样的连接“关键词”. [素能演练3] 已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明: (1)(a+b)(a5+b5)≥4; 证明:(1)因为a>0,b>0,a3+b3=2, 所以要证(a+b)(a5+b5)≥4, 只需证(a+b)(a5+b5)≥(a3+b3)2, 即证