第三章 第6节 利用导数研究函数零点-【导与练】2024高考文科数学一轮复习高中总复习第1轮教学课件PPT（旧教材，人教A版）

第6节　利用导数研究函数零点 课堂突破 提升素养能力 考点一　数形结合法研究函数零点 (1)讨论f(x)的单调性; (2)求f(x)在区间[1,e]上的最小值; (3)若方程f(x)=0在区间(1,e)上恰有两个互异的实根,求a的取值范围. 含参数的函数零点个数,可转化为方程解的个数,若能分离参数,可将参数分离出来后,用x表示参数的函数,作出该函数的图象,根据图象特征求参数的取值范围. [素能演练1] (2022·北师大二附中高三开学考试)已知函数f(x)=x2+2mex. (1)当m=1时,求曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积; [素能演练1] (2022·北师大二附中高三开学考试)已知函数f(x)=x2+2mex. (2)若关于x的方程x2f(x)=(1+2m)e2x恰有四个不同的解,求m的取值范围. 考点二　利用函数性质研究函数零点 [例2] 已知函数f(x)=xsin x+cos x,g(x)=x2+4. (1)讨论f(x)在[-π,π]上的单调性; [例2] 已知函数f(x)=xsin x+cos x,g(x)=x2+4. (2)令h(x)=g(x)-4f(x),试证明h(x)在R上有且仅有三个零点. 利用函数性质研究函数的零点,主要是根据函数单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个数,此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件. (1)若a=3,求f(x)的单调区间; (2)证明:f(x)只有一个零点. 考点三　构造函数法研究函数的零点 (1)当a=2时,求f(x)的单调区间; (2)若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点,求a的取值范围. 涉及函数的零点(方程的根)问题,主要利用导数确定函数的单调区间和极值点,根据函数零点的个数寻找函数在给定区间上的极值以及区间端点的函数值与0的关系,从而求得参数的取值范围. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)当m≥1时,讨论f(x)与g(x)图象的交点个数. 点击进入 课时作业 谢谢观赏 解:(1)函数f(x)=x2-aln x的定义域为(0,+∞),f′(x)=x-,a>0, 当0<x<时,f′(x)<0,当x>时,f′(x)>0, 因此f(x)在(0,]上单调递减,在[,+∞)上单调递增. [例1] 已知函数f(x)=x2-aln x(a>0). 解:(2)由(1)知,当0<a≤1时,f(x)在[1,e]上单调递增,f(x)min=f(1)=; 当≥e,即a≥e2时,f(x)在[1,e]上单调递减,f(x)min=f(e)=e2-a; 当1<<e,即1<a<e2时,f(x)min=f()=a(1-ln a). 所以当0<a≤1时,f(x)min=;当1<a<e2时,f(x)min=a(1-ln a);当a≥e2时, f(x)min=e2-a. [例1] 已知函数f(x)=x2-aln x(a>0). 解:(3)x∈(1,e),由f(x)=0得a=,令g(x)=,x∈(1,e),g′(x)=, 当1<x<时,g′(x)<0,当<x<e时,g′(x)>0,而g()=e, 因此函数g(x)在(1,]上单调递减,函数g(x)的取值范围为[e,+∞), 函数g(x)在[,e)上单调递增,函数g(x)的取值范围为[e,), 因为方程f(x)=0在区间(1,e)上恰有两个互异的实根,则直线y=a与函数y=g(x)在(1,e)上的图象有两个公共点,如图, 于是得e<a<,所以a的取值范围为(e,). [例1] 已知函数f(x)=x2-aln x(a>0). 解:(1)当m=1时,f(x)=x2+2ex,所以f(0)=2,又f′(x)=2x+2ex,所以切线的斜率k=f′(0)=2,则切线方程为y=2x+2,该切线与x轴交于点(-1,0),与y轴交于点(0,2),所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×2=1. 解:(2)由x2f(x)=(1+2m)e2x可得,x4+2mexx2-(1+2m)e2x=0,即+-1-2m=0, 令t=,则t2+2mt-1-2m=0,所以t=1或t=-1-2m,设g(x)=,则g′(x)==,当x变化时,g′(x),g(x)的变化如表所示, x (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞) g′(x) - 0 + 0 - g(x) ↘ 极小值0 ↗ 极大值 ↘ 函数g(x)的图象如图, 要使方程x2f(x)=(1+2m)e2x恰有四个不同的解,因为直线t=1与函数g(x)的图象有一个交点,则直线t=-1-2m与函数g(x)的图象有三个交点,所以0<-1-2m<,即--<m<-,所以m的取值范围为(--,-). (1)解:f′(x)