第三章 第5节 利用导数证明不等式-【导与练】2024高考文科数学一轮复习高中总复习第1轮教学课件PPT（旧教材，人教A版）

第5节　利用导数证明不等式 课堂突破 提升素养能力 考点一　构造单函数证明不等式 [例1] (2023·山东济南期末)已知函数f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x. (1)讨论f(x)的单调性; [例1] (2023·山东济南期末)已知函数f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x. 待证不等式的两边含有同一个变量时,一般地,可以直接构造“左减右”的函数,有时对复杂的式子要进行变形,利用导数研究其单调性和最值,借助所构造函数的单调性和最值即可得证. (1)讨论函数f(x)的单调性; 考点二　构造双函数比较最值证明不等式 [例2] (2023·陕西西安模拟)已知函数f(x)=aln x+x. (1)讨论f(x)的单调性; [例2] (2023·陕西西安模拟)已知函数f(x)=aln x+x. (2)当a=1时,证明:xf(x)<ex. 若直接求导比较复杂或无从下手时,可将待证式进行变形,构造两个函数,从而找到可以传递的中间量,达到证明的目标.本例中同时含ln x与ex,不能直接构造函数,把指数与对数分离两边,分别计算它们的最值,借助最值进行证明. [素能演练2] (2023·百校大联考)已知函数f(x)=eln x-ax(a∈R). (1)讨论函数f(x)的单调性; [素能演练2] (2023·百校大联考)已知函数f(x)=eln x-ax(a∈R). (2)当a=e时,证明:xf(x)-ex+2ex≤0. 考点三　放缩法证明不等式 [例3] 已知函数f(x)=ex-a. (1)若函数f(x)的图象与直线y=x-1相切,求a的值; (1)解:f(x)=ex-a,所以f′(x)=ex,令f′(x)=1,得x=0,当x=0时,y=-1,即f(0)=-1,得a=2. [例3] 已知函数f(x)=ex-a. (2)若a≤2,证明f(x)>ln x. 导数方法证明不等式中,最常见的是ex和ln x与其他代数式结合的问题,对于这类问题,可以考虑先对ex和ln x进行放缩,使问题简化,简化后再构建函数进行证明.常见的放缩公式如下:(1)ex≥1+x,当且仅当x=0时取等号.(2)ln x≤x-1,当且仅当x=1时取等号. [素能演练3] 已知函数f(x)=ln x-x+1. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)证明:由(1)得f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 所以f(x)≤f(1)=0,即ln x≤x-1,所以-ln x≥-(x-1),因为a≥1,所以ax2≥ x2,则ax2+3x-ln x≥x2+3x-(x-1)=(x+1)2>0(x>0),即ax2+3x-ln x>0. [素能演练3] 已知函数f(x)=ln x-x+1. (2)证明:当a≥1时,ax2+3x-ln x>0. 点击进入 课时作业 谢谢观赏 (1)解:由题意f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)==.当a≥0时,f′(x)>0,则f(x)在(0,+∞)上单调递增.当a<0时,f(x)在(0,-)上单调递增,在(-,+∞)上单调递减. (2)当a<0时,证明:f(x)≤--2. (2)证明:构造辅助函数g(x)=f(x)++2.要证原不等式成立,需证g(x)max≤0,即证f(x)max++2≤0. 由(1)知,当a<0时,f(x)max=f(-). 即证ln(-)++1≤0. 不妨设t=->0,则证ln t-t+1≤0,令h(t)=ln t-t+1,求导得h′(t)=-1. 当h′(t)>0时,t∈(0,1);当h′(t)<0时,t∈(1,+∞). 所以h(t)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,则h(t)max=h(1)=0,即 ln t-t+1≤0成立.故f(x)≤--2. (1)解:f′(x)=-=(x>0).当a≤0时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调 递增. 当a>0时,若x>a,则f′(x)>0,函数f(x)在(a,+∞)上单调递增; 若0<x<a,则f′(x)<0,函数f(x)在(0,a)上单调递减. [素能演练1] 已知函数f(x)=ln x+,a∈R. (2)证明:由(1)知,当a>0时,f(x)min=f(a)=ln a+1. 要证f(x)≥,只需证ln a+1≥,即证ln a+-1≥0. 令函数g(a)=ln a+-1,则g′(a)=-=(a>0), 当0<a<1时,g′(a)<0;当a>1时,g′(a)>0, 所以g(a)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以g(a)min=g(1)=0. 所以ln a+-1≥0恒成立,所以f(x)≥. [素能演练1] 已知函数f(x)=ln x+,a∈R. (2)当a>0时,证明:f(x)≥. (1)解:f(x)的定义域为