第三章 第4节 利用导数研究恒(能)成立问题-【导与练】2024高考文科数学一轮复习高中总复习第1轮教学课件PPT（旧教材，人教A版）

第4节　利用导数研究恒(能)成立问题 课堂突破 提升素养能力 考点一　分离参数求参数范围 (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)若f(x)≤x-1对x∈[1,+∞)恒成立,求a的取值范围. 解:(2)f(x)≤x-1对x∈[1,+∞)恒成立,即a≥x2-(x-1)ex在x∈[1,+∞)上恒成立,设g(x)=x2-(x-1)ex,g′(x)=x(2-ex),令g′(x)=0,得x1=0,x2=ln 2,在[1,+∞)上,g′(x)<0,所以函数g(x)=x2-(x-1)ex在[1,+∞)上单调递减,所以g(x)max=g(1)=1,所以a≥g(x)max,故有a≥1.所以a的取值范围为[1,+∞). 分离参数法解决恒(能)成立问题的策略 (1)分离变量.构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题. (2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max;a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min;a≥f(x)能成 立⇔a≥f(x)min;a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max. [素能演练1] 已知函数f(x)=xln x(x>0). (1)求函数f(x)的极值; [素能演练1] 已知函数f(x)=xln x(x>0). 考点二　等价转化求参数的取值范围 (1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间与极大值; (2)当x>1时,g(x)=f(x)+2ax<0恒成立,求实数a的取值范围. ②当a>0时,x∈(1,+∞)时恒有g′(x)<0,故g(x)在(1,+∞)上单调递减, 所以g(x)<0对任意x∈(1,+∞)都成立,只需g(1)≤0, 即-a+2a-1≤0,解得a≤1,故0<a≤1.综上所述,实数a的取值范围是(0,1]. 根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题,一般需讨论参数的取值范围,借助函数单调性求解. [素能演练2] (2023·辽宁锦州模拟)已知函数f(x)=xex-1,g(x)=a(ln x+x). (1)若a=2,证明:g(x)≤4x-2; [素能演练2] (2023·辽宁锦州模拟)已知函数f(x)=xex-1,g(x)=a(ln x+x). (2)若不等式f(x)≥g(x)恒成立,求正实数a的值. 考点三　双变量的恒(能)成立问题 (1)如果存在x1,x2∈[0,2],使得g(x1)-g(x2)≥M成立,求满足上述条件的最大整数M; “双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质,深刻挖掘内含条件,进行等价转换,常见的等价转换有(1)∀x1,x2∈D,f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)max. (2)∀x1∈D1,∃x2∈D2,f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)min. (3)∃x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)max. [素能演练3] (2023·广西河池模拟)设a为实数,函数f(x)=2x3-3x2+a,g(x)= x2(2ln x-3). (1)若函数f(x)与x轴有三个不同交点,求实数a的取值范围; 解:(2)对于∀x1∈[-1,2],∃x2∈[1,e],都有f(x1)≥g(x2),则f(x)min≥ g(x)min, 由(1)知函数f(x)在[-1,0)上单调递增,在(0,1]上单调递减,在(1,2]上单调递增,又f(-1)=a-5,f(1)=a-1,故当x∈[-1,2]时,f(x)min=f(-1)=a-5.因为g(x)=x2(2ln x-3),且x∈[1,e],则g′(x)=4x(ln x-1)≤4x(1-1)=0,故函数g(x)在[1,e]上单调递减,故g(x)min=g(e)=-e2,由题意可得a-5≥-e2,故a≥5-e2.所以实数a的取值范围为[5-e2,+∞). [素能演练3] (2023·广西河池模拟)设a为实数,函数f(x)=2x3-3x2+a,g(x)= x2(2ln x-3). (2)对于∀x1∈[-1,2],∃x2∈[1,e],都有f(x1)≥g(x2),试求实数a的取值范围. 点击进入 课时作业 谢谢观赏 [例1] (2023·河南南阳模拟)已知f(x)=. 解:(1)当a=1时,f(x)=,f(0)=-1,f′(x)=,所以k=f′(0)=1,所以切线方程为y+1=1×(x-0),即x-y-1=0. [例1] (2023·河南南阳模拟)已知f(x)=. 解:(1)由f(x)=xln x,得f′(x)=1+ln x,令f′(x)>0,得x>;令f′(x)<0,得0<x<.所以f(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增. 所以f(x)在x=处取得极小值,且极小值为f()=-,无极大值. (2)若存在x∈(0,+∞),使得f(x)≤成立,求实数m的最小值. 解: