第三章 第2节 导数与函数的单调性-【导与练】2024高考文科数学一轮复习高中总复习第1轮教学课件PPT（旧教材，人教A版）

第2节　导数与函数的单调性 [考试要求] 1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). 课前预习 巩固主干知识 1.函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y= f(x)在区间 (a,b)上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a,b)上 . f′(x)<0 f(x)在区间(a,b)上 . f′(x)=0 f(x)在区间(a,b)上是 . 单调递增 单调递减 常数函数 2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步,确定函数的 ; 第2步,求出导数f′(x)的 ; 第3步,用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f′(x)在各区间上的正负,由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性. 定义域 零点 [重要结论] 1.若函数f(x)在(a,b)上单调递增,则x∈(a,b)时,f′(x)≥0恒成立;若函数f(x)在(a,b)上单调递减,则x∈(a,b)时,f′(x)≤0恒成立. 2.若函数f(x)在(a,b)上存在单调递增区间,则x∈(a,b)时,f′(x)>0有解;若函数f(x)在(a,b)上存在单调递减区间,则x∈(a,b)时,f′(x)<0有解. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)在此区间内没有单调性. (　　) (2)在区间(a,b)内f′(x)≤0且f′(x)=0的根有有限个,则f(x)在(a,b)内单调递减.(　　) (3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0,则f(x)在定义域上一定单调递增. (　　) (4)函数f(x)=x-sin x在R上是增函数.(　　) √ √ × √ 2.(教材改编题)f′(x)是f(x)的导函数,若f′(x)的图象如图所示,则f(x)的图象可能是(　 　) C 解析:由f′(x)的图象知,当x∈(-∞,0)时,f′(x)>0,所以f(x)单调递增; 当x∈(0,x1)时,f′(x)<0,所以f(x)单调递减;当x∈(x1,+∞)时, f′(x)>0,所以f(x)单调递增.故选C. 3.(2023·四川广安二中模拟预测)函数f(x)=x2-2ln x的单调递减区间是 (　 　) A.(0,1] B.[1,+∞) C.(-∞,-1] D.[-1,0)∪(0,1] A 答案:(0,2] 课堂突破 提升素养能力 考点一　不含参数的函数的单调性 1.(2023·天津高三模拟)函数f(x)=ln x-ax(a>0)的单调递增区间为(　 　) A D A.(-1,4) B.(0,1) C.(4,+∞) D.(0,4) 3.(2023·江西赣州模拟)已知函数f(x)的导函数为f′(x),f(x)=ln x+ f′(1)x2,则函数f(x)的单调递增区间为(　 　) C 4.已知定义在区间(-π,π)上的函数f(x)=xsin x+cos x,则f(x)的单调递增区间是　　　　　.  确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域. (2)求f′(x). (3)解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间. (4)解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间. 考点二　含参数的函数的单调性 (1)研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类 讨论. (2)若导函数为二次函数式,首先看能否因式分解,再讨论二次项系数的正负及两根的大小;若不能因式分解,则需讨论判别式Δ的正负,二次项系数的正负,两根的大小及根是否在定义域内. 注意:个别导数为0的点不影响所在区间的单调性,如f(x)=x3,f′(x)=3x2≥ 0(f′(x)=0在x=0时取到),f(x)在R上是增函数. [素能演练1] 讨论下列函数的单调性. (1)f(x)=x-aln x; ①当a≤0时,f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增. ②当a>0时,x∈(0,a)时,f′(x)<0,x∈(a,+∞)时,f′(x)>0, 所以f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增. 综上,当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当a>0时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增. 解:(2)g(x)的定义域为R,g′(x)=x2+2ax-3a2=(x+3a)(x-a). ①当a=0时,g′(x)≥0,g(x)在R上单调递增. ②当a>0时,x∈(-∞,-3a)∪(a,+∞)时