第六章 第5节 数列中的综合问题-【导与练】2024高考文科数学一轮复习高中总复习第1轮教学课件PPT（旧教材，人教A版）

第5节　数列中的综合问题 课堂突破 提升素养能力 考点一　数列的实际应用 (2)某顾客在2022年1月1日采用分期付款的方式购买一件价值2万元的家电,在购买一个月后2月 1日第一次还款,且以后每个月1日等额还款一次,如果一年内还清全部贷款(12月1日最后一次还款),月利率为0.5%.按复利计算,则该顾客每个月应还款多少元?(精确到1元,参考值1.00510≈1.05,1.00511≈1.06)(　　) A.1 767 B.1 818 C.1 923 D.1 946 对于实际问题中所涉及的数列模型,解题时应认真审题,从问题背景中提取相关信息并分析归纳,然后构造恰当的数列模型,再依据等差或等比数列的有关公式求解作答,必要时要进行检验. [素能演练1] 某种细胞开始时有2个,1小时后分裂成4个并死去1个,2小时后分裂成6个并死去1个,3小时后分裂成10个并死去1个……按照此规律,6小时后细胞存活个数为(　　) A.33 B.64 C.65 D.127 解析:将开始时的细胞个数记为a1=2,1小时后的细胞个数记为a2=3,2小时后的细胞个数记为a3=5,3小时后的细胞个数记为a4=9,…, 由题意可得a1=2,当n≥2时,an=2an-1-1,则an-1=2(an-1-1), 所以数列{an-1}是以2为公比,1为首项的等比数列,所以an-1=2n-1, 所以an=2n-1+1,所以6小时后细胞存活个数为a7=26+1=65.故选C. 考点二　等差数列、等比数列的综合运算 [例2] (2023·山东滨州模拟)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=2,b2=4,an= 2log2bn,n∈N*. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; 解:(1)设等差数列{an}的公差为d, 因为b2=4, 所以a2=2log2b2=4,所以d=a2-a1=2, 所以an=2+(n-1)×2=2n. 又an=2log2bn, 即2n=2log2bn, 所以n=log2bn, 所以bn=2n. [例2] (2023·山东滨州模拟)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=2,b2=4,an= 2log2bn,n∈N*. (2)设数列{an}中不在数列{bn}中的项按从小到大的顺序构成数列{cn},记数列{cn}的前n项和为Sn,求S100. 对等差、等比数列的综合问题,应重点分析等差、等比数列项之间的关系.数列的求和主要是等差、等比数列的求和及裂项相消法求和与错位相减法求和. [素能演练2] 已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5. (1)求{an}的通项公式; 解:(1)设等差数列{an}的公差为d. 因为a1=1,a2+a4=10, 所以2a1+4d=10,解得d=2. 所以an=2n-1. [素能演练2] 已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5. 考点三　数列与其他知识的交汇问题 微点1　数列与不等式的交汇 (1)求数列{an}的通项公式; 数列与不等式综合问题的求解策略 (1)数列与不等式的综合问题,如果是证明题,要灵活选择不等式的证明方法,如比较法、综合法、分析法、放缩法等;如果是解不等式,往往采用因式分解法或数轴穿根法等. (2)用放缩法证明与数列求和有关的不等式,一般有两种方法:一种是求和后再放缩;一种是放缩后再求和.放缩时,一要注意放缩的尺度,二要注意从哪一项开始放缩. [素能演练3] 若Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和,且S1,S2,S4成等比数列,S2=4. (1)求数列{an}的通项公式; 解:(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0), 则S1=a1,S2=2a1+d,S4=4a1+6d. 因为S1,S2,S4成等比数列, 所以a1·(4a1+6d)=(2a1+d)2. 所以2a1d=d2. 因为d≠0,所以d=2a1. 又因为S2=4,所以a1=1,d=2,所以an=2n-1(n∈N*). [素能演练3] 若Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和,且S1,S2,S4成等比数列,S2=4. 微点2　数列与函数的交汇 (1)求数列{an}的通项公式; 数列与函数的综合的呈现形式 (1)以数列的特征量n,an,Sn等为坐标的点在函数图象上,可以得到数列的递推关系. (2)数列的项或前n项和可以看作关于n的函数,然后利用函数的性质求解数列问题. 点击进入 课时作业 谢谢观赏 [例1] (1)(2022·新高考Ⅱ卷)图1是中国古代建筑中的举架结构,AA′,BB′, CC′,DD′是桁,相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图,其中DD1,CC1,BB1