第十二章 第2节 参数方程-【导与练】2024高考文科数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第2节　参数方程 [考试要求] 1.了解参数方程,了解参数的意义. 2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程. 1.曲线的参数方程 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值,上式所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,则称上式为这条曲线的参数方程,其中变数t称为参变数,简称参数. 2.直线、圆、椭圆的参数方程 曲线 参数方程 过点M0(x0,y0),倾斜角为α的直线l (t为参数) 圆心在点M0(x0,y0),半径为R的圆 (θ为参数) 圆心在原点,半径为R的圆 (θ为参数) 椭圆+=1(a>b>0) (为参数) 3.直线的参数方程的标准形式的应用 过点M0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程是(t为参数). 若M1,M2是l上的两点,其对应参数分别为t1,t2,则 (1)M1,M2两点的坐标分别是(x0+t1cos α,y0+t1sin α),(x0+t2cos α,y0+t2sin α); (2)|M1M2|=|t1-t2|; (3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t,则t=,中点M到定点M0的距离|MM0|=|t|=||; (4)若M0为线段M1M2的中点,则t1+t2=0. [重要结论] 根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义,有如下常用结论: 过定点M0的直线与圆锥曲线相交,交点为M1,M2,所对应的参数分别为t1,t2. (1)弦长l=|t1-t2|; (2)弦M1M2的中点⇒t1+t2=0; (3)|M0M1||M0M2|=|t1t2|. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)参数方程中的x,y都是参数t的函数.(　　) (2)方程(θ为参数)表示以点(0,1)为圆心,以2为半径的圆.(　　) (3)已知椭圆的参数方程(t为参数),点M在椭圆上,对应参数t=,点O为原点,则直线OM的斜率为.(　　) (4)参数方程(θ为参数且θ∈[0,])表示的曲线为椭圆.(　　) 答案:(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2.(教材改编题)曲线(θ为参数)的对称中心(　B　) A.在直线y=2x上 B.在直线y=-2x上 C.在直线y=x-1上 D.在直线y=x+1上 解析:由得 所以(x+1)2+(y-2)2=1. 曲线是以(-1,2)为圆心,1为半径的圆,所以对称中心坐标为(-1,2),在直线y=-2x上.故选B. 3.已知参数方程(t为参数),t∈[-1,1],以下哪个图符合该方程(　B　) 解析:利用特殊值法进行排除,当y=0时,t=0,1,-1,当t=0时,x=0, 当t=1时,x=-1,当t=-1时,x=1, 故当y=0时,x=0或1或-1,即图象经过(-1,0),(0,0),(1,0)三个点, 对照四个选项中的图象,只有选项B符合要求.故选B. 4.在平面直角坐标系中,已知圆的参数方程是(θ是参数,0≤θ<2π),则圆的半径是　　　　.  解析:根据题意,圆的参数方程是(θ是参数,0≤θ<2π),其标准方程为x2+(y+3)2=4,其半径为2. 答案:2 考点一　参数方程与普通方程的互化 [例1] 将下列参数方程化为普通方程. (1)(t为参数); (2)(θ为参数); (3)(t为参数); (4)(t为参数). 解:(1)由得 所以4x2-4y2=(et+e-t)2-(et-e-t)2=4, 所以所求的普通方程为x2-y2=1. (2)由 得 所以(2y)2+x=(sin θ+cos θ)2+(-1-sin 2θ)=0,所以y2=-, 又-2≤-1-sin 2θ≤0, 即-2≤x≤0, 所以所求的普通方程为y2=-(-2≤x≤0). (3)因为x=, 所以y== =4-3×=4-3x, 又x===2-∈[0,2), 所以x∈[0,2), 所以所求的普通方程为3x+y-4=0(0≤x<2). (4)因为-1<≤1, 即-1<x≤1, 且x2+()2=()2+=1. 所以所求的普通方程为x2+=1(-1<x≤1). 1.消去参数的方法 (1)利用解方程的技巧求出参数的表达式,然后代入消去参数. (2)利用三角恒等式消去参数. (3)根据参数方程本身的结构特征,灵活选用一些方法从整体上消去参数. 将参数方程化为普通方程时,要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小,必须根据参数的取值范围,确定函数f(t)和g(t)的值域,即x和y的取值范围. 2.已知曲线的普通方程求参数方程时,选取不同含义的参数时可能得到不同的参数方程. [素能演练1] (1)设=cos θ,θ为参数,则椭圆+=1的参数方程为　.  (2)如图所示,以过原点的直线的倾斜角θ为参数,则圆x2+y2-x=0的参数