第三章 第6节 利用导数研究函数零点-【导与练】2024高考文科数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第6节　利用导数研究函数零点 考点一　数形结合法研究函数零点 [例1] 已知函数f(x)=x2-aln x(a>0). (1)讨论f(x)的单调性; (2)求f(x)在区间[1,e]上的最小值; (3)若方程f(x)=0在区间(1,e)上恰有两个互异的实根,求a的取值范围. 解:(1)函数f(x)=x2-aln x的定义域为(0,+∞),f′(x)=x-,a>0, 当0<x<时,f′(x)<0,当x>时,f′(x)>0, 因此f(x)在(0,]上单调递减,在[,+∞)上单调递增. (2)由(1)知,当0<a≤1时,f(x)在[1,e]上单调递增,f(x)min=f(1)=; 当≥e,即a≥e2时,f(x)在[1,e]上单调递减,f(x)min=f(e)=e2-a; 当1<<e,即1<a<e2时,f(x)min=f()=a(1-ln a). 所以当0<a≤1时,f(x)min=;当1<a<e2时,f(x)min=a(1-ln a);当a≥e2时,f(x)min=e2-a. (3)x∈(1,e),由f(x)=0得a=,令g(x)=,x∈(1,e),g′(x)=, 当1<x<时,g′(x)<0,当<x<e时,g′(x)>0,而g()=e, 因此函数g(x)在(1,]上单调递减,函数g(x)的取值范围为[e,+∞), 函数g(x)在[,e)上单调递增,函数g(x)的取值范围为[e,), 因为方程f(x)=0在区间(1,e)上恰有两个互异的实根,则直线y=a与函数y=g(x)在(1,e)上的图象有两个公共点,如图, 于是得e<a<,所以a的取值范围为(e,). 含参数的函数零点个数,可转化为方程解的个数,若能分离参数,可将参数分离出来后,用x表示参数的函数,作出该函数的图象,根据图象特征求参数的取值范围. [素能演练1] (2022·北师大二附中高三开学考试)已知函数f(x)=x2+2mex. (1)当m=1时,求曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积; (2)若关于x的方程x2f(x)=(1+2m)e2x恰有四个不同的解,求m的取值范围. 解:(1)当m=1时,f(x)=x2+2ex,所以f(0)=2,又f′(x)=2x+2ex,所以切线的斜率k=f′(0)=2,则切线方程为y=2x+2,该切线与x轴交于点(-1,0),与y轴交于点(0,2),所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×2=1. (2)由x2f(x)=(1+2m)e2x可得,x4+2mexx2-(1+2m)e2x=0,即+-1-2m=0, 令t=,则t2+2mt-1-2m=0,所以t=1或t=-1-2m,设g(x)=,则g′(x)==,当x变化时,g′(x),g(x)的变化如表所示, x (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞) g′(x) - 0 + 0 - g(x) ↘ 极小值0 ↗ 极大值 ↘ 函数g(x)的图象如图, 要使方程x2f(x)=(1+2m)e2x恰有四个不同的解,因为直线t=1与函数g(x)的图象有一个交点,则直线t=-1-2m与函数g(x)的图象有三个交点,所以0<-1-2m<,即--<m<-,所以m的取值范围为(--,-). 考点二　利用函数性质研究函数零点 [例2] 已知函数f(x)=xsin x+cos x,g(x)=x2+4. (1)讨论f(x)在[-π,π]上的单调性; (2)令h(x)=g(x)-4f(x),试证明h(x)在R上有且仅有三个零点. (1)解:f′(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x. 当x∈[-π,-)∪(0,)时,f′(x)>0; 当x∈(-,0)∪(,π]时,f′(x)<0, 所以f(x)在[-π,-),(0,)上单调递增,在(-,0),(,π]上单调递减. (2)证明:h(x)=x2+4-4xsin x-4cos x, 因为h(-x)=x2+4-4xsin x-4cos x=h(x), 所以h(x)为偶函数.又因为h(0)=0,所以x=0为函数h(x)的零点.下面讨论h(x)在(0,+∞)上的零点个数: h(x)=x2+4-4xsin x-4cos x=x(x-4sin x)+4(1-cos x). 当x∈[4,+∞)时,x-4sin x>0,4(1-cos x)≥0,所以h(x)>0,所以h(x)无零点; 当x∈(0,4)时,h′(x)=2x-4xcos x=2x(1-2cos x), 当x∈(0,)时,h′(x)<0;当x∈(,4)时,h′(x)>0,所以h(x)在(0,)上单调递减,在(,4)上单调递增, 所以h(x)min=h()=+4-sin -4cos =+2-<0,又h(0)=0,且h(4)=20