第三章 第5节 利用导数证明不等式-【导与练】2024高考文科数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第5节　利用导数证明不等式 考点一　构造单函数证明不等式 [例1] (2023·山东济南期末)已知函数f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)当a<0时,证明:f(x)≤--2. (1)解:由题意f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)==.当a≥0时,f′(x)>0,则f(x)在(0,+∞)上单调递增.当a<0时,f(x)在(0,-)上单调递增,在(-,+∞)上单调递减. (2)证明:构造辅助函数g(x)=f(x)++2.要证原不等式成立,需证g(x)max≤0,即证f(x)max++2≤0. 由(1)知,当a<0时,f(x)max=f(-). 即证ln(-)++1≤0. 不妨设t=->0,则证ln t-t+1≤0,令h(t)=ln t-t+1,求导得h′(t)=-1. 当h′(t)>0时,t∈(0,1);当h′(t)<0时,t∈(1,+∞). 所以h(t)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,则h(t)max=h(1)=0,即ln t-t+1≤0成立.故f(x)≤--2. 待证不等式的两边含有同一个变量时,一般地,可以直接构造“左减右”的函数,有时对复杂的式子要进行变形,利用导数研究其单调性和最值,借助所构造函数的单调性和最值即可得证. [素能演练1] 已知函数f(x)=ln x+,a∈R. (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)当a>0时,证明:f(x)≥. (1)解:f′(x)=-=(x>0).当a≤0时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增. 当a>0时,若x>a,则f′(x)>0,函数f(x)在(a,+∞)上单调递增; 若0<x<a,则f′(x)<0,函数f(x)在(0,a)上单调递减. (2)证明:由(1)知,当a>0时,f(x)min=f(a)=ln a+1. 要证f(x)≥,只需证ln a+1≥,即证ln a+-1≥0. 令函数g(a)=ln a+-1,则g′(a)=-=(a>0), 当0<a<1时,g′(a)<0;当a>1时,g′(a)>0, 所以g(a)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以g(a)min=g(1)=0. 所以ln a+-1≥0恒成立,所以f(x)≥. 考点二　构造双函数比较最值证明不等式 [例2] (2023·陕西西安模拟)已知函数f(x)=aln x+x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)当a=1时,证明:xf(x)<ex. (1)解:f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=+1=. 当a≥0时,f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增. 当a<0时,若x∈(-a,+∞),则f′(x)>0;若x∈(0,-a),则f′(x)<0. 所以f(x)在(-a,+∞)上单调递增,在(0,-a)上单调递减. 综上所述,当a≥0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当a<0时,f(x)在(-a,+∞)上单调递增,在(0,-a)上单调递减. (2)证明:当a=1时,要证xf(x)<ex ,即证x2+xln x<ex,即证1+<. 令函数g(x)=1+,则g′(x)=. 令g′(x)>0,得x∈(0,e);令g′(x)<0,得x∈(e,+∞). 所以g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减, 所以g(x)max=g(e)=1+. 令函数h(x)=,则h′(x)=. 当x∈(0,2)时,h′(x)<0;当x∈(2,+∞)时,h′(x)>0. 所以h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以h(x)min=h(2)=. 因为-(1+)>0,所以h(x)min>g(x)max,即1+<,从而xf(x)<ex得证. 若直接求导比较复杂或无从下手时,可将待证式进行变形,构造两个函数,从而找到可以传递的中间量,达到证明的目标.本例中同时含ln x与ex,不能直接构造函数,把指数与对数分离两边,分别计算它们的最值,借助最值进行证明. [素能演练2] (2023·百校大联考)已知函数f(x)=eln x-ax(a∈R). (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)当a=e时,证明:xf(x)-ex+2ex≤0. (1)解:f′(x)=-a(x>0), ①若a≤0,则f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增; ②若a>0,则当0<x<时,f′(x)>0;当x>时,f′(x)<0.故f(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减. (2)证明:因为x>0,所以只需证f(x)≤-2e,当a=e时,由(1)知,f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.所以f(x)max=f(1)=-e. 设g(x)=-2e(x>0),则g′(x)=,所以当0<x<1时