第三章 第4节 利用导数研究恒(能)成立问题-【导与练】2024高考文科数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第4节　利用导数研究恒(能)成立问题 考点一　分离参数求参数范围 [例1] (2023·河南南阳模拟)已知f(x)=. (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)若f(x)≤x-1对x∈[1,+∞)恒成立,求a的取值范围. 解:(1)当a=1时,f(x)=,f(0)=-1,f′(x)=,所以k=f′(0)=1,所以切线方程为y+1=1×(x-0),即x-y-1=0. (2)f(x)≤x-1对x∈[1,+∞)恒成立,即a≥x2-(x-1)ex在x∈[1,+∞)上恒成立,设g(x)=x2-(x-1)ex,g′(x)=x(2-ex),令g′(x)=0,得x1=0,x2=ln 2,在[1,+∞)上,g′(x)<0,所以函数g(x)=x2-(x-1)ex在[1,+∞)上单调递减,所以g(x)max=g(1)=1,所以a≥g(x)max,故有a≥1.所以a的取值范围为[1,+∞). 分离参数法解决恒(能)成立问题的策略 (1)分离变量.构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题. (2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max;a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min;a≥f(x)能成立⇔a≥f(x)min;a≤f(x)能成立⇔a≤f(x)max. [素能演练1] 已知函数f(x)=xln x(x>0). (1)求函数f(x)的极值; (2)若存在x∈(0,+∞),使得f(x)≤成立,求实数m的最小值. 解:(1)由f(x)=xln x,得f′(x)=1+ln x,令f′(x)>0,得x>;令f′(x)<0,得0<x<.所以f(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增. 所以f(x)在x=处取得极小值,且极小值为f()=-,无极大值. (2)由f(x)≤,得m≥.问题转化为m≥()min. 令g(x)==2ln x+x+(x>0),则g′(x)=+1-==. 由g′(x)>0,得x>1;由g′(x)<0,得0<x<1.所以g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增. 所以g(x)min=g(1)=4,则m≥4.故实数m的最小值为4. 考点二　等价转化求参数的取值范围 [例2] (2023·河南三门峡模拟)已知函数f(x)=ln x-ax2-x,a>-且a≠0. (1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间与极大值; (2)当x>1时,g(x)=f(x)+2ax<0恒成立,求实数a的取值范围. 解:(1)当a=1时,函数f(x)=ln x-x2-x,x∈(0,+∞),可得f′(x)=-2x-1=-=-, 令f′(x)>0,解得0<x<,f(x)单调递增; 令f′(x)<0,可得x>,f(x)单调递减, 所以函数f(x)的单调递增区间为(0,),单调递减区间为(,+∞),当x=时,函数f(x)取得极大值,极大值为f()=--ln 2. (2)由题意,函数g(x)=f(x)+2ax=ln x-ax2+(2a-1)x,x∈(1,+∞), 可得g′(x)=-2ax+(2a-1)=-, ①当-<a<0,x∈(1,-)时,g′(x)<0;x∈(-,+∞)时,g′(x)>0, 所以g(x)在(1,-)上单调递减,在(-,+∞)上单调递增, 当x→+∞时,g(x)→+∞,所以g(x)∈(g(-),+∞),不符合题意; ②当a>0时,x∈(1,+∞)时恒有g′(x)<0,故g(x)在(1,+∞)上单调递减, 所以g(x)<0对任意x∈(1,+∞)都成立,只需g(1)≤0, 即-a+2a-1≤0,解得a≤1,故0<a≤1. 综上所述,实数a的取值范围是(0,1]. 根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题,一般需讨论参数的取值范围,借助函数单调性求解. [素能演练2] (2023·辽宁锦州模拟)已知函数f(x)=xex-1,g(x)=a(ln x+x). (1)若a=2,证明:g(x)≤4x-2; (2)若不等式f(x)≥g(x)恒成立,求正实数a的值. (1)证明:当a=2时,g(x)≤4x-2⇔ln x-x+1≤0,设(x)=ln x-x+1,′(x)=-1=(x>0), 所以在区间(0,1)上, ′(x)>0, (x)单调递增;在区间(1,+∞)上,′(x)<0,(x)单调递减. 所以(x)≤(1)=0,即ln x-x+1≤0, 所以当a=2时,g(x)≤4x-2. (2)解:依题意,xex-1≥a(ln x+x)⇔eln x+x-a(ln x+x)-1≥0, 令t=ln x+x,t=ln x+x在(0,+∞)上单调递增,且t∈R,所以et-at-1≥0对任意t∈R恒成立. 设h(t)=et-at-1(a>0),h′(t)=et-a, 所以在区间(-∞,ln a)上,h′(t)<0,h(t)单