第三章 第3节 导数与函数的极值、最值-【导与练】2024高考文科数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第3节　导数与函数的极值、最值 [考试要求] 1.借助函数图象,了解函数在某点取得极值的必要和充分条件. 2.会用导数求函数的极大值、极小值. 3.会求闭区间上函数的最大值、最小值. 1.函数的极值 条件 f′(x0)=0 x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0 x0附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0 图象 极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小值 极值点 x0为极大值点 x0为极小值点 2.函数的最大(小)值 (1)函数f(x)在区间[a,b]上有最值的条件. 如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值. (2)求函数y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步骤. ①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值; ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. [重要结论] 1.若函数f(x)的图象连续不断,则f(x)在[a,b]上一定有最值. 2.若函数f(x)在[a,b]上是单调函数,则f(x)一定在区间端点处取得最值. 3.若函数f(x)在区间(a,b)内只有一个极值点,则相应的极值点一定是函数的最值点. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)函数f(x)在区间(a,b)上不存在最值.(　　) (2)函数的极小值一定是函数的最小值.(　　) (3)函数的极小值一定不是函数的最大值.(　　) (4)函数y=f′(x)的零点是函数y=f(x)的极值点.(　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2.(教材改编题)如图是f(x)的导函数f′(x)的图象,则f(x)的极小值点的个数为(　A　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:由题意知只有在x=-1处f′(-1)=0,且其两侧导数符号为左负右正.故选A. 3.(2022·宁夏银川二中一模)函数f(x)=x3-ax2+2x-1有极值,则实数a的取值范围是(　B　) A.(-∞,-]∪[,+∞) B.(-∞,-)∪(,+∞) C.(-,) D.[-,] 解析:f′(x)=3x2-2ax+2,由题意知f′(x)有变号零点,所以Δ=(-2a)2-4×3×2>0,解得a>或a<-.故选B. 4.(2022·全国甲卷)当x=1时,函数f(x)=aln x+取得最大值-2,则f′(2)等于(　B　) A.-1 B.- C. D.1 解析:因为函数f(x)的定义域为(0,+∞),所以依题可知,f(1)=-2,f′(1)=0,而f′(x)=-,所以b=-2,a-b=0,即a=-2,b=-2,所以f′(x)=-+,因此函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,当x=1时取最大值,满足题意,即有f′(2)=-1+=-.故选B. 考点一　利用导数求函数的极值问题 微点1　根据函数图象判断极值 [例1] (2023·广东广州模拟)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(x-1)f′(x)的图象如图所示,则下列结论中正确的是(　　) A.函数f(x)有极大值f(-3)和f(3) B.函数f(x)有极小值f(-3)和f(3) C.函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(-3) D.函数f(x)有极小值f(-3)和极大值f(3) 解析:由题图知,当x∈(-∞,-3)时,y>0,x-1<0⇒f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(-3,1)时,y<0,x-1<0⇒f′(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(1,3)时,y>0,x-1>0⇒f′(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(3,+∞)时,y<0,x-1>0⇒f′(x)<0,f(x)单调递减.所以函数有极小值f(-3)和极大值f(3).故选D. 由图象判断函数y=f(x)的极值,要抓住两点: (1)由y=f′(x)的图象与x轴的交点,可得函数y=f(x)的可能极值点. (2)由导函数y=f′(x)的图象可以看出y=f′(x)的值的正负,从而可得函数y=f(x)的单调性.两者结合可得极值点. [素能演练1] (2023·四川广安模拟预测)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1-x)f′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是(　　) A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2) D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2) 解析:由题图可知,当x<-2时,f′(x)>0;当-2<x<1时,f′(x)<0;当1<x<2时,f′(x)<0;当x>2时,f′(x)>0.由