第三章 第2节 导数与函数的单调性-【导与练】2024高考文科数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第2节　导数与函数的单调性 [考试要求] 1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). 1.函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y= f(x)在区间 (a,b)上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a,b)上单调递增 f′(x)<0 f(x)在区间(a,b)上单调递减 f′(x)=0 f(x)在区间(a,b)上是常数函数 2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步,确定函数的定义域; 第2步,求出导数f′(x)的零点; 第3步,用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f′(x)在各区间上的正负,由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性. [重要结论] 1.若函数f(x)在(a,b)上单调递增,则x∈(a,b)时,f′(x)≥0恒成立;若函数f(x)在(a,b)上单调递减,则x∈(a,b)时,f′(x)≤0恒成立. 2.若函数f(x)在(a,b)上存在单调递增区间,则x∈(a,b)时,f′(x)>0有解;若函数f(x)在(a,b)上存在单调递减区间,则x∈(a,b)时,f′(x)<0有解. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)在此区间内没有单调性.(　　) (2)在区间(a,b)内f′(x)≤0且f′(x)=0的根有有限个,则f(x)在(a,b)内单调递减.(　　) (3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0,则f(x)在定义域上一定单调递增.(　　) (4)函数f(x)=x-sin x在R上是增函数.(　　) 答案:(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2.(教材改编题)f′(x)是f(x)的导函数,若f′(x)的图象如图所示,则f(x)的图象可能是(　C　) 解析:由f′(x)的图象知,当x∈(-∞,0)时,f′(x)>0,所以f(x)单调递增; 当x∈(0,x1)时,f′(x)<0,所以f(x)单调递减;当x∈(x1,+∞)时,f′(x)>0,所以f(x)单调递增.故选C. 3.(2023·四川广安二中模拟预测)函数f(x)=x2-2ln x的单调递减区间是(　A　) A.(0,1] B.[1,+∞) C.(-∞,-1] D.[-1,0)∪(0,1] 解析:由题意知f′(x)=2x-=(x>0),由f′(x)≤0,得0<x≤1.故选A. 4.(2023·山东青岛模拟)若y=x+(a>0)在[2,+∞)上单调递增,则a的取值范围是　　　　.  解析:由y′=1-≥0,得x≤-a或x≥a,所以y=x+的单调递增区间为(-∞,-a],[a,+∞). 因为函数在[2,+∞)上单调递增,所以[2,+∞)⊆[a,+∞),所以a≤2.又a>0,所以0<a≤2. 答案:(0,2] 考点一　不含参数的函数的单调性 1.(2023·天津高三模拟)函数f(x)=ln x-ax(a>0)的单调递增区间为(　A　) A.(0,) B.(,+∞) C.(-∞,) D.(-∞,a) 解析:函数f(x)的定义域为(0,+∞),由f′(x)=-a>0,得0<x<.所以f(x)的单调递增区间为(0,).故选A. 2.(2023·云南昆明一中模拟)函数f(x)=x+-3ln x的单调递减区间是(　D　) A.(-1,4) B.(0,1) C.(4,+∞) D.(0,4) 解析:函数的定义域是(0,+∞),f′(x)=1--=,令f′(x)<0,解得0<x<4, 故函数f(x)=x+-3ln x的单调递减区间是(0,4).故选D. 3.(2023·江西赣州模拟)已知函数f(x)的导函数为f′(x),f(x)=ln x+f′(1)x2,则函数f(x)的单调递增区间为(　C　) A.(-,) B.(-∞,-),(,+∞) C.(0,) D.(,+∞) 解析:由f(x)=ln x+f′(1)x2得f′(x)=+2f′(1)x,所以f′(1)=1+2f′(1),f′(1)=-1, f′(x)=-2x=,因为x>0,所以由f′(x)=>0得0<x<.故选C. 4.已知定义在区间(-π,π)上的函数f(x)=xsin x+cos x,则f(x)的单调递增区间是　　　　　　　　　　　　　.  解析:f′(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x.令f′(x)=xcos x>0,则其在区间(-π,π)上的解集为(-π,-)∪(0,),即f(x)的单调递增区间为(-π,-)和(0,). 答案:(-π,-)和(0,) 确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域. (2)求f′(x). (3)解