第三章 第1节 导数的概念及其意义、导数的运算-【导与练】2024高考文科数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第1节　导数的概念及其意义、导数的运算 [考试要求] 1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数. 2.通过函数图象,理解导数的几何意义. 3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数. 1.导数的概念 (1)函数y=f(x)在x=x0处的导数记作f′(x0)或y′,f′(x0)==. (2)函数y=f(x)的导函数:f′(x)=y′=. 2.导数的几何意义 函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,相应的切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). 3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)=c(c为常数) f′(x)=0 f(x)=xα(α∈Q*) f′(x)=αxα-1 f(x)=sin x f′(x)=cos x f(x)=cos x f′(x)=-sin x f(x)=ax(a>0,且a≠1) f′(x)=axln a f(x)=ex f′(x)=ex f(x)=logax(a>0,且a≠1) f′(x)= f(x)=ln x f′(x)= 4.导数运算法则 若f′(x),g′(x)存在,则有 (1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x); (2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); (3)[]′=(g(x)≠0); (4)[cf(x)]′=cf′(x). [重要结论] 1.区分在点处的切线与过点处的切线 (1)在点处的切线,该点一定是切点,切线有且仅有一条. (2)过点处的切线,该点不一定是切点,切线至少有一条. 2.[]′=(f(x)≠0). 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)f′(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率.(　　) (2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.(　　) (3)f′(x0)=[f(x0)]′.(　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)× 2.(教材改编题)下列导数的运算不正确的是(　C　) A.(log2x)′= B.(x2ln x)′=2xln x+x C.()′= D.(sin xcos x)′=cos 2x 解析:因为()′=,所以C选项错误,其余都正确.故选C. 3.(2023·湖北九师联盟质量检测)已知函数f(x)=x2+xln x的图象在点(1,f(1))处的切线与直线x-ay-1=0平行,则实数a=　　　　.  解析:因为f(x)=x2+xln x,所以f′(x)=2x+ln x+1,切线斜率k=f′(1)=2+1=3,又该切线与直线x-ay-1=0平行,所以=3,所以a=. 答案: 4.(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为　　　　　　　　,　　　　　　　　.  解析:先求当x>0时,曲线y=ln x过原点的切线方程,设切点为(x0,y0),则由y′=, 得切线斜率为,又切线的斜率为, 所以=,解得y0=1, 代入y=ln x,得x0=e, 所以切线斜率为,切线方程为y=x. 同理可求得当x<0时的切线方程为y=-x. 综上可知,两条切线方程分别为y=x,y=-x. 答案:y=x　y=-x 考点一　导数的运算 1.(2023·广东清远模拟)下列求导运算正确的是(　B　) A.(x+)′=1+ B.(cos x-3)′=-sin x C.()′= D.(x2cos x)′=2xcos x+x2sin x 解析:(x+)′=1-,选项A错误;(cos x-3)′=(cos x)′-3′=-sin x,选项B正确;()′==,选项C错误;(x2cos x)′=2xcos x-x2sin x,选项D错误.故选B. 2.若f(x)=,则f′(x)=　　　　.  解析:由已知f(x)=x-ln x+-,所以f′(x)=1--+. 答案:1--+ 3.(2020·全国Ⅲ卷)设函数f(x)=.若f′(1)=,则a=　　　　.  解析:由f′(x)=,可得f′(1)==,即=,解得a=1. 答案:1 4.已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足关系式f(x)=x2+3xf′(2)+ln x,则f(1)=　　　　.  解析:因为f(x)=x2+3xf′(2)+ln x,所以f′(x)=2x+3f′(2)+. 令x=2,得f′(2)=4+3f′(2)+,则f′(2)=-.所以f(1)=1+3×1×(-)+0=-. 答案:- 1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商,再利用导数运算法则求导. 2.抽象函数求导,恰当赋值是关键,然后活用方程思想求解. 考点二　导数的几何意义 微点1　求切线方程 [例1] (