第七章 第6节 直接证明与间接证明-【导与练】2024高考文科数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第6节　直接证明与间接证明 [考试要求] 1.了解直接证明的两种基本方法:综合法和分析法,了解综合法和分析法的思考过程和特点. 2.了解反证法的思考过程和特点. 1.直接证明 内容 综合法 分析法 定义 一般地,利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立 一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等) 实质 由因导果 执果索因 框图 表示 P⇒Q1→Q1⇒Q2→…→Qn⇒Q Q⇐P1→P1⇐P2→…→ 得到一个明显 成立的条件 文字 语言 因为……所以…… 或由……得…… 要证……只需证……即证…… 2.间接证明 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法,反证法是一种常用的间接证明方法. (1)反证法的定义:一般地,假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立的证明方法. (2)用反证法证明的一般步骤:①反设——假设命题的结论不成立;②归谬——根据假设进行推理,直到推出矛盾为止;③结论——断言假设不成立,从而肯定原命题的结论成立. [重要结论] 1.分析法是执果索因,实际上是寻找使结论成立的充分条件;综合法是由因导果,就是寻找已知的必要条件. 2.用反证法证题时,首先否定结论,否定结论就是找出结论的反面的情况,然后推出矛盾,矛盾可以与已知、公理、定理、事实或者假设等相矛盾. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)综合法是直接证明,分析法是间接证明.(　　) (2)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条件.(　　) (3)用反证法证明结论“a>b”时,应假设“a≤b”.(　　) (4)用反证法证明时,推出的矛盾不能与假设矛盾.(　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2.(教材改编题)用反证法证明命题:“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要假设的是(　A　) A.方程x3+ax+b=0没有实根 B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根 C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根 D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根 解析:方程x3+ax+b=0至少有一个实根的反面是方程x3+ax+b=0没有实根.故选A. 3.(2023·黑龙江哈尔滨三十二中期末)用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时,假设正确的是(　D　) A.假设三个内角都不大于60° B.假设三个内角至少有一个大于60° C.假设三个内角至多有两个大于60° D.假设三个内角都大于60° 解析:用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时,应该假设“三角形的内角都大于60°”.故选D. 4.(2023·河南洛阳摸底)关于x的方程x2+ax-b=0,有下列四个命题,甲:x=5是方程的一个根;乙:x=3是方程的一个根;丙:该方程两根异号;丁:该方程两根之和为4.若四个命题中只有一个假命题,则假命题是　　　　.  解析:若甲是假命题,则乙、丙、丁是真命题,则x=3是方程x2+ax-b=0的一个根,由于两根之和为4,则另一根为1,两根同号,与丙是真命题矛盾,不满足题意;若乙是假命题,则甲、丙、丁是真命题,则x=5是方程x2+ax-b=0的一个根,由于两根之和为4,则该方程的另一根为-1,两根异号,满足题意;若丙是假命题,则甲、乙、丁是真命题,则方程x2+ax-b=0的两根为3和5,两根之和为8,与丁是真命题矛盾,不满足题意;若丁是假命题,则甲、乙、丙是真命题,则方程x2+ax-b=0的两根为3和5,两根同号,与丙是真命题矛盾,不满足题意.综上所述,乙命题为假命题. 答案:乙 考点一　综合法的应用 [例1] 设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明: (1)ab+bc+ca≤; (2)++≥1. 证明:(1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,得a2+b2+c2≥ab+bc+ca. 由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1, 所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤,当且仅当“a=b=c”时等号成立. (2)因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,当且仅当“a2=b2=c2”时等号成立, 故+++(a+b+c)≥2(a+b+c),则++≥a+b+c,所以++≥1. [素能演练1] 已知a>0,b>0,a2+b2=2.证明: (1)(a+b)(a3+b3)≥4; (2)a2b+b2a≤2. 证明:(1)(a+b)(a3+b3)=a4+ab3