第七章 第4节 基本不等式及其应用-【导与练】2024高考文科数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第4节　基本不等式及其应用 [考试要求] 1.了解基本不等式的证明过程. 2.能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 1.基本不等式:≤ (1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0. (2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号. (3)其中称为正数a,b的算术平均数,称为正数a,b的几何平均数. 2.重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号. 3.利用基本不等式求最值 (1)已知x,y都是正数,如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2. (2)已知x,y都是正数,如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值S2. 注意:利用基本不等式求最值时应满足三个条件“一正、二定、三相等”. [重要结论] 1.+≥2(a,b同号),当且仅当a=b时取等号. 2.ab≤()2≤. 3.≤≤≤(a>0,b>0). 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)不等式ab≤()2与≤等号成立的条件是相同的.(　　) (2)y=x+的最小值是2.(　　) (3)若x>0,y>0且x+y=xy,则xy的最小值为4.(　　) (4)函数y=sin x+,x∈(0,)的最小值为4.(　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2.(教材改编题)要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是(　C　) A.80元 B.120元 C.160元 D.240元 解析:由题意知,体积V=4 m3,高h=1 m,所以底面积S=4 m2,设底面矩形的一条边长是x m,则另一条边长是 m,又设总造价是y元,则y=20×4+10×(2x+)≥80+20=160,当且仅当2x=,即x=2时取等号.故选C. 3.(2022·新高考Ⅱ卷改编)对任意x,y,x2+y2-xy=1,则下列不成立的是(　B　) A.xy≤1 B.x+y≤1 C.x+y≥-2 D.x2+y2≤2 解析:由x2+y2-xy=1可变形为x2+y2=1+xy≥2xy,解得xy≤1,当且仅当x=y=±1时取等号,所以A正确;由x2+y2-xy=1可变形为(x+y)2-1=3xy≤3()2,解得-2≤x+y≤2,当且仅当x=y=-1时,x+y=-2,当且仅当x=y=1时,x+y=2,所以B错误,C正确;由x2+y2-xy=1可变形为(x2+y2)-1=xy≤,解得x2+y2≤2,当且仅当x=y=±1时取等号,所以D正确.故选B. 4.(2023·四川遂宁模拟)当x>1时,x+的最小值为　　　　.  解析:因为x>1,所以x-1>0,由基本不等式得x+=(x-1)++1≥2+1=5,当且仅当x=3时,等号成立.因此x+的最小值为5. 答案:5 考点一　利用基本不等式求最值 微点1　配凑法求最值 [例1] (1)(2023·山西怀仁一中模拟)函数y=3x+(x>)的最小值为(　　) A.8 B.7 C.6 D.5 (2)(2023·四川乐山一中模拟)设0<x<,则函数y=4x(3-2x)的最大值为　　　　.  解析:(1)因为x>,所以3x-1>0,所以y=3x+=(3x-1)++1≥ 2+1=5, 当且仅当3x-1=,即x=1时等号成立,故函数y=3x+(x>)的最小值为5.故选D. (2)y=4x(3-2x)=2[2x(3-2x)]≤=,当且仅当2x=3-2x,即x=时,等号成立.因为∈(0,),所以函数y=4x(3-2x)(0<x<)的最大值为. 答案:(1)D　(2) 配凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法.配凑法的实质是代数式的灵活变形,配系数、凑常数是关键. [素能演练1] (1)当0<x<2时,x(2-x)的最大值为(　　) A.0 B.1 C.2 D.4 (2)(2023·重庆模拟)已知x>0,则2x+的最小值为　　　　.  解析:(1)因为0<x<2,所以2-x>0,又x+(2-x)=2,所以x(2-x)≤=1,当且仅当x=2-x,即x=1时等号成立,所以x(2-x)的最大值为1.故选B. (2)2x+=2x+1+-1≥2-1=3,当且仅当2x+1=2,即x=时,等号成立,所以2x+的最小值为3. 答案:(1)B　(2)3 微点2　常数代换法求最值 [例2] (1)已知a>0,b>0,a+b=1,则+的最小值为　　　　.  (2)(2023·辽宁鞍山模拟)已知正实数a,b满足+=2,则a+b的最小值是　　　　.  (3)已知a>0,b>0,a+b=1,则(1+)(1+)的最小值为　　　　.  解析:(1)因为a+b=1,所以+=(