第七章 第3节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题-【导与练】2024高考文科数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第3节　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 [考试要求] 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. 2.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组. 3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决. 1.二元一次不等式(组)表示的平面区域 (1)一般地,二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域不含边界直线.不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域包括边界直线. (2)对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),使得Ax+By+C的值符号相同,也就是位于同一半平面内的点,其坐标适合同一个不等式Ax+By+C>0;而位于另一个半平面内的点,其坐标适合另一个不等式Ax+By+C<0. (3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域,是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. 2.线性规划的有关概念 名称 意义 线性约束条件 由x,y的一次不等式(或方程)组成的不等式组,是对x,y的约束条件 目标函数 关于x,y的解析式 线性目标函数 关于变量x,y的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x,y) 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数达到最大值或最小值的可行解 线性规划问题 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题 [重要结论] (1)画二元一次不等式表示的平面区域的方法是直线定界,特殊点定域. ①直线定界:不等式中无等号时直线画成虚线,有等号时直线画成实线. ②特殊点定域:若直线不过原点,特殊点常选原点;若直线过原点,则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证. (2)利用“同号上,异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域. 对于Ax+By+C>0或Ax+By+C<0,则有 ①当B(Ax+By+C)>0时,区域为直线Ax+By+C=0的上方. ②当B(Ax+By+C)<0时,区域为直线Ax+By+C=0的下方. (3)最优解和可行解的关系. 最优解必定是可行解,但可行解不一定是最优解.最优解不一定唯一,有时唯一,有时有多个. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集.(　　) (2)不等式Ax+By+C>0表示的平面区域一定在直线Ax+By+C=0的上方.(　　) (3)点(x1,y1),(x2,y2)在直线Ax+By+C=0同侧的充要条件是(Ax1+By1+C)(Ax2+By2+C)>0,在异侧的充要条件是(Ax1+By1+C)·(Ax2+By2+C)<0.(　　) (4)目标函数z=ax+by(b≠0)中,z的几何意义是直线ax+by-z=0在y轴上的截距.(　　) 答案:(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2.(教材改编题)已知点(1,1)在直线x+2y+b=0的下方,则实数b的取值范围为(　B　) A.(-3,+∞) B.(-∞,-3) C.(-3,0) D.(-∞,-3)∪(0,+∞) 解析:因为点(1,1)在直线x+2y+b=0的下方,所以1+2+b<0,解得b<-3.故选B. 3.(2022·全国乙卷)若x,y满足约束条件则z=2x-y的最大值是(　C　) A.-2 B.4 C.8 D.12 解析:法一　作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,作出直线y=2x,平移该直线,当直线经过点(4,0)时,z最大,此时z=2×4-0=8. 法二　由 得此时z=2×0-2=-2; 由得 此时z=2×2-0=4; 由得此时z=2×4-0=8. 综上所述,z=2x-y的最大值为8.故选C. 4.(2023·四川成都模拟)设x,y满足约束条件则x-3y的最小值为　　　　.  解析:根据约束条件,画出可行域如图, 令z=x-3y,则y=x-, 当该动直线过点(0,)时纵截距-最大,即z最小,故x-3y的最小值为-. 答案:- 考点一　二元一次不等式(组)表示的平面区域 1.不等式组表示的区域(阴影部分)是(　D　) 解析:将点(0,0)代入x-y+1<0不成立,则点(0,0)不在不等式x-y+1<0所表示的平面区域内,将点(0,0)代入x+y-3≥0不成立,则点(0,0)不在不等式x+y-3≥0所表示的平面区域内,所以不等式组表示的平面区域不包括原点,排除A,C;x-y+1<0不包括边界,用虚线表示,x+y-3≥0包括边界,用实线表示.故选D. 2.若点A(2,1)和B(3,-3)分布在直线2x+ay+a=0的两侧,则实数a的取值范围为(　C　) A.(-2,3) B.(-3,2) C.(-∞,-2)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(2,+∞) 解析:因为点