第七章 第2节 一元二次不等式及其解法-【导与练】2024高考文科数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第2节　一元二次不等式及其解法 [考试要求] 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程,会解一元二次不等式. 2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 1.一元二次不等式 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式. 2.三个“二次”间的关系 判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两相异实根x1,x2(x1<x2) 有两相等实根x1=x2=- 没有 实数根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|x>x2或x<x1} {x|x≠-} R ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} [重要结论] 1.绝对值不等式 |x|>a(a>0)的解集为(-∞,-a)∪(a,+∞);|x|<a(a>0)的解集为(-a,a). 记忆口诀:大于号取两边,小于号取中间. 2.分式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0). (2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)≤0等价于(x-a)(x-b)≤0.(　　) (2)若不等式ax2+bx+c>0的解集为(x1,x2),则必有a<0.(　　) (3)若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,则不等式ax2+bx+c<0的解集一定不是空集.(　　) (4)不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b2-4ac≤0.(　　) 答案:(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2.(教材改编题)已知集合A={x|x2-2x-3<0},B={x|x2+x-6<0},若不等式x2+ax+b<0的解集为A∩B,则a+b=(　A　) A.-3 B.1 C.-1 D.3 解析:由题知A={x|-1<x<3},B={x|-3<x<2},所以A∩B={x|-1<x<2},由根与系数的关系可知,a=-1,b=-2,所以a+b=-3.故选A. 3.(2023·河南南阳期末)设函数f(x)=-x2+ax+b,若不等式f(x)>0的解集为(-1,3).则f(-2x)<0的解集为　　　　　　　　.  解析:由题意知,-1和3是方程-x2+ax+b=0的两根,所以所以a=2,b=3,所以f(x)=-x2+2x+3,由f(-2x)<0知,-4x2-4x+3<0,即(2x+3)(2x-1)>0,所以x<-或x>,故不等式的解集为(-∞,-)∪(,+∞). 答案:(-∞,-)∪(,+∞) 4.(2022·浙江卷节选)已知函数f(x)=若当x∈[a,b]时,1≤f(x)≤3,则b-a的最大值是　　　　.  解析:当x≤1时,由1≤f(x)≤3,可得1≤-x2+2≤3,所以-1≤x≤1;当x>1时,由1≤f(x)≤3,可得1≤x+-1≤3,所以1<x≤2+,故1≤f(x)≤3的解集为[-1,2+],所以[a,b]⊆[-1,2+],所以b-a的最大值为3+. 答案:3+ 考点一　一元二次不等式的解法 微点1　不含参的不等式 [例1] (1)不等式-2x2+x+3<0的解集为(　　) A.(-1,) B.(-,1) C.(-∞,-1)∪(,+∞) D.(-∞,-)∪(1,+∞) (2)(2023·云南模拟)不等式≥2的解集为(　　) A.(-∞,-3]∪[8,+∞) B.(-∞,-3)∪[8,+∞) C.(-3,8] D.(-∞,-3)∪(8,+∞) (3)不等式0<x2-x-2≤4的解集为　　　　.  解析:(1)-2x2+x+3<0可化为2x2-x-3>0,即(x+1)(2x-3)>0,所以x<-1或x>.故选C. (2)原不等式可化为-2≥0,即≥0,即(x-8)(x+3)≥0且x+3≠0,所以x<-3或x≥8.故选B. (3)原不等式等价于 即即解得借助于数轴,如图所示, 所以原不等式的解集为{x|-2≤x<-1或2<x≤3}. 答案:(1)C　(2)B　(3)[-2,-1)∪(2,3] 解一元二次不等式的一般方法和步骤 (1)把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式. (2)计算对应方程的判别式,根据判别式判断方程有没有实根(无实根时,不等式解集为R或).求出对应的一元二次方程的根. (3)利用“大于取两边,小于取中间”写出不等式的解集. [素能演练1] 求下列不等式的解集: (1)x2-4x-12<0; (2)>1. 解:(1)因为x2-4x-12<0,所以(x-6)(x+2)<0,解得-2<x<6,所以不等式的解集为{x|-2<x<6}. (2)因为>1,所以-