第六章 第5节 数列中的综合问题-【导与练】2024高考文科数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第5节　数列中的综合问题 考点一　数列的实际应用 [例1] (1)(2022·新高考Ⅱ卷)图1是中国古代建筑中的举架结构,AA′,BB′,CC′,DD′是桁,相邻桁的水平距离称为步,垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图,其中DD1,CC1,BB1,AA1是举,OD1,DC1,CB1,BA1是相等的步,相邻桁的举步之比分别为=0.5,=k1,=k2,=k3,已知k1,k2,k3成公差为0.1的等差数列,且直线OA的斜率为0.725,则k3等于(　　) A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9 (2)某顾客在2022年1月1日采用分期付款的方式购买一件价值2万元的家电,在购买一个月后2月 1日第一次还款,且以后每个月1日等额还款一次,如果一年内还清全部贷款(12月1日最后一次还款),月利率为0.5%.按复利计算,则该顾客每个月应还款多少元?(精确到1元,参考值1.00510≈1.05,1.00511≈1.06)(　　) A.1 767 B.1 818 C.1 923 D.1 946 解析:(1)如图,连接OA,延长AA1与x轴交于点A2,则OA2=4OD1.因为k1,k2,k3成公差为0.1的等差数列,所以k1=k3-0.2,k2=k3-0.1,所以CC1=DC1(k3-0.2),BB1=CB1(k3-0.1),AA1=k3BA1,即CC1=OD1(k3-0.2),BB1=OD1(k3-0.1),AA1=k3OD1.又=0.5,所以DD1=0.5OD1,所以AA2=0.5OD1+OD1(k3-0.2)+OD1(k3-0.1)+k3OD1=OD1(3k3+0.2),所以tan∠AOA2===0.725,解得k3=0.9.故选D. (2)设每月还款x元,共还款11个月, 所以x×(1.00510+1.0059+…+1.005+1)=20 000×1.00511, x==≈≈1 767.故选A. 对于实际问题中所涉及的数列模型,解题时应认真审题,从问题背景中提取相关信息并分析归纳,然后构造恰当的数列模型,再依据等差或等比数列的有关公式求解作答,必要时要进行检验. [素能演练1] 某种细胞开始时有2个,1小时后分裂成4个并死去1个,2小时后分裂成6个并死去1个,3小时后分裂成10个并死去1个……按照此规律,6小时后细胞存活个数为(　　) A.33 B.64 C.65 D.127 解析:将开始时的细胞个数记为a1=2,1小时后的细胞个数记为a2=3,2小时后的细胞个数记为a3=5,3小时后的细胞个数记为a4=9,…, 由题意可得a1=2,当n≥2时,an=2an-1-1,则an-1=2(an-1-1), 所以数列{an-1}是以2为公比,1为首项的等比数列,所以an-1=2n-1, 所以an=2n-1+1,所以6小时后细胞存活个数为a7=26+1=65.故选C. 考点二　等差数列、等比数列的综合运算 [例2] (2023·山东滨州模拟)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=2,b2=4,an=2log2bn,n∈N*. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)设数列{an}中不在数列{bn}中的项按从小到大的顺序构成数列{cn},记数列{cn}的前n项和为Sn,求S100. 解:(1)设等差数列{an}的公差为d, 因为b2=4, 所以a2=2log2b2=4,所以d=a2-a1=2, 所以an=2+(n-1)×2=2n. 又an=2log2bn, 即2n=2log2bn, 所以n=log2bn, 所以bn=2n. (2)由(1)得bn=2n=2·2n-1=,即bn是数列{an}中的第2n-1项. 设数列{an}的前n项和为Pn,数列{bn}的前n项和为Qn, 因为b7==a64,b8==a128, 所以数列{cn}的前100项是由数列{an}的前107项去掉数列{bn}的前7项后构成的, 所以S100=P107-Q7=-=11 302. 对等差、等比数列的综合问题,应重点分析等差、等比数列项之间的关系.数列的求和主要是等差、等比数列的求和及裂项相消法求和与错位相减法求和. [素能演练2] 已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5. (1)求{an}的通项公式; (2)求b1+b3+b5+…+. 解:(1)设等差数列{an}的公差为d. 因为a1=1,a2+a4=10, 所以2a1+4d=10,解得d=2. 所以an=2n-1. (2)设等比数列{bn}的公比为q. 因为b2b4=a5,所以b1q·b1q3=9. 又b1=1,所以q2=3. 所以=b1q2n-2=3n-1, 则b1+b3+b5+…+b2n-1=1+3+32+…+3n-1=. 考点