第六章 第4节 数列求和-【导与练】2024高考文科数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第4节　数列求和 [考试要求] 1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式. 2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法. 1.特殊数列的求和公式 (1)等差数列的前n项和公式:Sn==na1+d. (2)等比数列的前n项和公式:Sn= 2.分组求和法与并项求和法 (1)若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分别求和后相加减. (2)形如an=(-1)n·f(n)类型,常采用两项合并求解. 3.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用此法来求,如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的. 4.裂项相消法 (1)把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和. (2)常见的裂项技巧: ①=-. ②=(-). ③=(-). ④=-. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)若数列{an}为等比数列,且公比不等于1,则其前n项和Sn=.(　　) (2)当n≥2时,=(-).(　　) (3)求Sn=a+2a2+3a3+…+nan时,只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得.(　　) (4)求数列{+2n+3}的前n项和可用分组转化法求和.(　　) 答案:(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2.(教材改编题)设数列{an}的前n项和为Sn,若an=,则S99=(　C　) A.7 B.8 C.9 D.10 解析:an==-, 所以S99=(-1)+(-)+…+(-)=-1=9.故选C. 3.数列{an}的通项公式为an=(-1)n-1·(4n-3),则它的前100项之和S100等于(　B　) A.200 B.-200 C.400 D.-400 解析:S100=(4×1-3)-(4×2-3)+(4×3-3)-…-(4×100-3)=4×[(1-2)+(3-4)+…+(99-100)]=4×(-50)=-200.故选B. 4.(2020·新高考Ⅰ卷)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}的前n项和为　　　　.  解析:将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{an},则{an}是以1为首项,以6为公差的等差数列,故它的前n项和为n×1+×6=3n2-2n. 答案:3n2-2n 考点一　分组转化求和 [例1] (2023·陕西西安质检)已知各项都不相等的等差数列{an},a6=6,又a1,a2,a4成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=+(-1)nan,求数列{bn}的前2n项和. 解:(1)设等差数列{an}的公差为d. 由题意 解得a1=1,d=1, 所以数列{an}的通项公式为an=1+(n-1)×1=n. (2)由(1)知,bn=2n+(-1)nn, 则T2n=(21+22+…+22n)+(-1+2-3+4-…+2n).记A=21+22+…+22n, B=-1+2-3+4-…+2n, 则A==22n+1-2, B=(-1+2)+(-3+4)+…+[-(2n-1)+2n]=n. 故数列{bn}的前2n项和T2n=A+B=22n+1+n-2. (1)若数列{cn}的通项公式为cn=an±bn,且{an},{bn}为等差或等比数列,可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和. (2)若数列{cn}的通项公式为cn=其中数列{an},{bn}是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求{cn}的前n项和. [素能演练1] (2023·重庆质检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a5=9,S5=25. (1)求数列{an}的通项公式及Sn; (2)设bn=(-1)nSn,求数列{bn}的前n项和Tn. 解:(1)设数列{an}的公差为d, 由S5=5a3=25得a3=a1+2d=5, 又a5=9=a1+4d, 所以d=2,a1=1, 所以an=2n-1,Sn==n2. (2)结合(1)知bn=(-1)nn2, 当n为偶数时, Tn=(b1+b2)+(b3+b4)+(b5+b6)+…+(bn-1+bn) =(-12+22)+(-32+42)+(-52+62)+…+[-(n-1)2+n2] =(2-1)(2+1)+(4-3)(4+3)+(6-5)(6+5)+…+[n-(n-1)][n+(n-1)]=1+2+3+…+n=. 当n为奇数时,n-1为偶数,当n≥3时,Tn=Tn-1+(-1)n·n2=-n2=-.当n=1时,T1=-1也满足此式. 综上可知,Tn=. 考点二　裂项相消求和 [例2] (2022·新高考Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和,已知a1=1,{}是公差为 的等差数列