第六章 第3节 等比数列-【导与练】2024高考文科数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第3节　等比数列 [考试要求] 1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式. 3.了解等比数列与指数函数的关系. 1.等比数列的有关概念 (1)定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示(q≠0).定义的表达式为=q(n∈N*,q为非零常数). (2)等比中项:如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,此时G2=ab. 2.等比数列的有关公式 (1)通项公式:an=a1qn-1. (2)前n项和公式: Sn= 3.等比数列的性质 (1)通项公式的推广:an=am·qn-m(m,n∈N*). (2)对任意的正整数m,n,p,q,若m+n=p+q=2k,则am·an=ap·aq=. (3)Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,当q≠-1时为等比数列.当q=-1时,若k为偶数,则不是等比数列;若k为奇数,则是公比为-1的等比数列. (4)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为qk. (5)若或则等比数列{an}递增.若或则等比数列{an}递减. [重要结论] 1.若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则数列{c·an}(c≠0),{|an|},{},{},{an·bn},{}也是等比数列. 2.等比数列{an}的通项公式可以写成an=cqn,这里c≠0,q≠0. 3.等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn=Aqn-A(A≠0,q≠1,0). 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)等比数列的公比q是一个常数,它可以是任意实数.(　　) (2)三个数a,b,c成等比数列的充要条件是b2=ac.(　　) (3)数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和为Sn=.(　　) (4)数列{an}为等比数列,则S4,S8-S4,S12-S8成等比数列.(　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2.(教材改编题)已知{an}是等比数列,a2=2,a4=,则公比q等于(　D　) A.- B.-2 C.2 D.± 解析:设等比数列{an}的公比为q(q≠0),因为a2=2,a4=, 所以a4=a2q2,所以q2==, 所以q=±.故选D. 3.(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168,a2-a5=42,则a6等于(　D　) A.14 B.12 C.6 D.3 解析:法一　设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,由题意可得 即解得所以a6=a1q5=3.故选D. 法二　设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,由题意可得 即解得 所以a6=a1q5=3.故选D. 4.(2023·贵州贵阳模拟)等比数列{an}的首项a1=-1,前n项和为Sn,若=,则{an}的通项公式an=　　　　.  解析:因为=, 所以=-, 因为S5,S10-S5,S15-S10成等比数列,且公比为q5, 所以q5=-, q=-, 则an=-(-)n-1. 答案:-(-)n-1 考点一　等比数列基本量的运算 1.(2020·全国Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a5-a3=12,a6-a4=24,则=(　B　) A.2n-1 B.2-21-n C.2-2n-1 D.21-n-1 解析:设等比数列{an}的公比为q,则由解得所以Sn==2n-1,an=a1qn-1=2n-1,所以==2-21-n.故选B. 2.(2019·全国Ⅰ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=,=a6,则S5=　　　　　　.  解析:由=a6可得q6=a1q5,解得a1q=1, 则q=3.故S5==. 答案: 3.已知数列{an}为等比数列,a2=6,6a1+a3=30,则a4=　　　　.  解析:由 解得或 a4=a1·q3=2×33=54或a4=3×23=3×8=24. 答案:54或24 (1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)便可迎刃而解. (2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,当q=1时,{an}的前n项和Sn=na1;当q≠1时,{an}的前n项和Sn==. 考点二　等比数列的判定与证明 [例1] (2023·贵州省瓮安中学模拟预测)已知各项都为正数的数列{an}满足an+2=2an+1+3an. (1)证明:数列{an+an+1}为等比数列; (2)若a1=,a2=,求{an}的通项公式. (1)证明:an+2=2an+1+3an, 所以