第六章 第2节 等差数列-【导与练】2024高考文科数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第2节　等差数列 [考试要求] 1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题. 4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系. 1.等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示,定义表达式为an-an-1=d(常数)(n≥2,n∈N*). (2)等差中项:若三个数a,A,b成等差数列,则A叫做a与b的等差中项,且有A=. 2.等差数列的有关公式 (1)通项公式:an=a1+(n-1)d. (2)前n项和公式:Sn=na1+d或Sn=. 3.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*). (2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an. (3)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列. (4)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列. (5)等差数列{an}的前n项和为Sn,{}为等差数列. [重要结论] 1.已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列,且公差为p. 2.在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则Sn存在最大值;若a1<0,d>0,则Sn存在最小值. 3.等差数列{an}的单调性:当d>0时,{an}是递增数列;当d<0时,{an}是递减数列;当d=0时,{an}是常数列. 4.数列{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn(A,B为常数).这里公差d=2A. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.(　　) (2)若一个数列每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.(　　) (3)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.(　　) (4)已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列.(　　) 答案:(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2.(教材改编题)设数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,若a6=2且S5=30,则S8等于(　B　) A.31 B.32 C.33 D.34 解析:由已知可得 解得 所以S8=8a1+d=32.故选B. 3.(2023·内蒙古呼和浩特质检)在等差数列{an}中,若a1+a2=5,a3+a4=15,则a5+a6=(　C　) A.10 B.20 C.25 D.30 解析:在等差数列{an}中,每相邻2项的和仍然构成等差数列,设其公差为d,若a1+a2=5,a3+a4=15,则d=15-5=10,因此a5+a6=(a3+a4)+d=15+10=25.故选C. 4.(2022·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若2S3=3S2+6,则公差d=　　　　.  解析:因为2S3=3S2+6, 所以2(a1+a2+a3)=3(a1+a2)+6, 化简得3d=6,得d=2. 答案:2 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 考点一　等差数列基本量的运算 1.(2019·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则(　A　) A.an=2n-5 B.an=3n-10 C.Sn=2n2-8n D.Sn=n2-2n 解析:由等差数列的性质可得 解得故故选A. 2.(2023·安徽省江南十校调研)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S8=a8=8,则公差d=(　D　) A. B. C.1 D.2 解析:因为S8=a8=8, 所以a1+a2+…+a8=a8, 所以S7=7a4=0,则a4=0. 所以d==2.故选D. 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3=5,S4=24,则a9等于(　B　) A.-5 B.-7 C.-9 D.-11 解析:因为a3=5,S4=24, 所以a1+2d=5,4a1+6d=24, 解得a1=9,d=-2, 所以an=11-2n, 所以a9=11-2×9=-7.故选B. (1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想来解决问题. (2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用,而a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法. 考点二　等差数列的判定与证明 [例1] 若数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+