第六章 第1节 数列的概念-【导与练】2024高考文科数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第1节　数列的概念 [考试要求] 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式). 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数. 1.数列的定义 按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项. 2.数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项 间的大小 关系 递增数列 an+1>an 其中n∈N* 递减数列 an+1<an 常数列 an+1=an 摆动数列 从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列 3.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 4.数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式. [重要结论] 1.已知数列{an}的前n项和Sn,则an= 2.在数列{an}中,若an最大,则(n≥2,n∈N*);若an最小,则(n≥2,n∈N*). 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.(　　) (2)1,1,1,1,…,不能构成一个数列.(　　) (3)任何一个数列不是递增数列,就是递减数列.(　　) (4)如果数列{an}的前n项和为Sn,则对任意n∈N*,都有an+1=Sn+1-Sn.(　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2.(教材改编题)数列{an}的前几项为,3,,8,,…,则此数列的通项公式可能是(　A　) A.an= B.an= C.an= D.an= 解析:数列为,,,,,…,其分母为2,分子可表示为1+5(n-1)=5n-4,因此通项公式可能为an=.故选A. 3.(2023·山西太原调研)设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=,若a4=32,则a1=　　　　.  解析:由题意,得a4=S4-S3=32. 即-=32,解得a1=. 答案: 4.(2023·山东省临沂第一中学模拟)已知an=n2+λn,且对于任意的n∈N*,数列{an}是递增数列,则实数λ的取值范围是　　　　.  解析:因为{an}是递增数列,所以对任意的n∈N*,都有an+1>an,即(n+1)2+λ(n+1)>n2+λn,整理,得2n+1+λ>0,即λ>-(2n+1).(*) 因为n≥1,所以-(2n+1)≤-3,要使不等式(*)恒成立,只需λ>-3. 答案:(-3,+∞) 考点一　由an与Sn的关系求通项公式 [例1] (1)设Sn为数列{an}的前n项和,若2Sn=3an-3,则a4等于(　　) A.27 B.81 C.93 D.243 (2)设数列{an}满足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n,则an=　　　　　　　.  解析:(1)根据2Sn=3an-3, 可得2Sn+1=3an+1-3, 两式相减得2an+1=3an+1-3an, 即an+1=3an, 当n=1时,2S1=3a1-3,解得a1=3, 所以数列{an}是以3为首项,3为公比的等比数列,所以a4=a1q3=34=81.故选B. (2)当n=1时,a1=21=2. 因为a1+3a2+…+(2n-1)an=2n,① 所以a1+3a2+…+(2n-3)an-1=2n-1(n≥2),② 由①-②,得(2n-1)an=2n-2n-1=2n-1,所以an=(n≥2). 显然当n=1时不满足上式, 所以an= 答案:(1)B　(2) 1.由Sn求an的步骤 (1)先利用a1=S1求出a1. (2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式. (3)注意检验n=1时的表达式是否可以与n≥2的表达式合并. 2.Sn与an关系问题的求解思路 (1)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn,Sn-1的关系式,再求解. (2)利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an,an-1的关系式,再求解. [素能演练1] (1)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n2+n+1,n∈N*,则an=　　　　.  (2)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则an=　　　　.  解析:(1)根据题意,可得Sn-1=2(n-1)2+(n-1)+1.由an与Sn的关系,可得an=Sn-Sn-1, 代入化简得an=2n2+n+1-2(n-1)2-(n-1)-1=4n-1.经检验,当n=1时a1=4,不满足此式. 所以an= (2)由已知得an+1=Sn+1-Sn=Sn+1Sn,两边同时除以Sn+1S