第二章 第9节 函数模型的应用-【导与练】2024高考文科数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第9节　函数模型的应用 [考试要求] 1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异. 2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义. 3.会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律,了解函数模型在社会生活中的广泛应用. 1.三种函数模型的性质 　　函数 性质　　　 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xn(n>0) 在(0,+∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 2.常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0) 二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 反比例函数模型 f(x)=+b(k,b为常数且k≠0) 指数函数模型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0) 对数函数模型 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0) 幂函数模型 f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0,α≠0) [重要结论] 形如f(x)=x+(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型: (1)该函数在(-∞,-]和[,+∞)上单调递增,在[-,0)和(0,]上单调递减. (2)当x>0时,x=时取最小值2, 当x<0时,x=-时取最大值-2. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大.(　　) (2)某商品进价为每件100元,按进价增加10%出售,后因库存积压降价,若九折出售,则每件还能获利.(　　) (3)在(0,+∞)上,随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y=xa(a>0)和y=logax(a>1)的增长速度.(　　) (4)在选择实际问题的函数模型时,必须使所有的数据完全符合该函数模型.(　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2.(教材改编题)在某个物理实验中,测得变量x和变量y的几组数据,如表. x 0.50 0.99 2.01 3.98 y -0.99 -0.01 0.98 2.00 则对x,y最适合的拟合函数是(　D　) A.y=2x B.y=x2-1 C.y=2x-2 D.y=log2x 解析:根据x=0.50,y=-0.99,代入计算,可以排除A;根据x=2.01,y=0.98,代入计算,可以排除B,C;将各数据代入函数y=log2x,可知D满足题意.故选D. 3.(2022·北京卷)在北京冬奥会上,国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术,为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系,其中T表示温度,单位是K;P表示压强,单位是bar.下列结论中正确的是(　D　) A.当T=220,P=1 026时,二氧化碳处于液态 B.当T=270,P=128时,二氧化碳处于气态 C.当T=300,P=9 987时,二氧化碳处于超临界状态 D.当T=360,P=729时,二氧化碳处于超临界状态 解析:对于A选项,当T=220,P=1 026,即lg P=lg 1 026>lg 103=3时,根据图象可知,二氧化碳处于固态,故A错误;对于B选项,当T=270,P=128,即lg P=lg 128∈(lg 102,lg 103),即lg P∈(2,3)时,根据图象可知,二氧化碳处于液态,故B错误;对于C选项,当T=300,P=9 987,即lg P=lg 9 987<lg 104=4时,根据图象可知,二氧化碳处于固态,故C错误;对于D选项,当T=360,P=729,即lg P=lg 729∈(lg 102,lg 103),即lg P=lg 729∈(2,3)时,根据图象可知,二氧化碳处于超临界状态,故D正确.故选D. 4.(2022·贵州凯里一中三模)生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)=x2+2x+20(万元).一万件售价为20万元,为获取更大利润,该企业一个月应生产该商品数量为　　　　万件.  解析:由题意可知利润L(x)=20x-C(x)=-(x-18)2+142,当x=18时,L(x)有最大值. 答案:18 考点一　用函数图象刻画变化过程 1.图中的器皿叫做“垂鳞纹圆壶”,其身流线自若、纹理分明,展现了古代中国精湛的制造技术.科研人员为了测量其容积,以恒定的流速向其内注水,恰好用时30秒注满,设注水过程中,壶中水面高度为h,注水时间为t