第二章 第8节 函数的零点与方程的解-【导与练】2024高考文科数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第8节　函数的零点与方程的解 [考试要求] 1.理解函数的零点与方程的解的联系. 2.理解函数零点存在定理,并能简单应用. 3.了解用二分法求方程的近似解. 1.函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念. 对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. (2)函数零点与方程实数根的关系. 方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点. (3)函数零点存在定理. 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根. 2.二分法 对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. [重要结论] 1.若y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象连续不断,且有f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)一定有零点. 2.f(a)·f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件. 3.若函数f(x)在[a,b]上是单调函数,且f(x)的图象连续不断,则f(a)·f(b)<0⇒函数f(x)在区间[a,b]上只有一个零点. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.(　　) (2)连续函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,则f(a)·f(b)<0.(　　) (3)函数y=f(x)为R上的单调函数,则f(x)有且仅有一个零点.(　　) (4)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),若b2-4ac<0,则f(x)无零点.(　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2.(教材改编题)函数f(x)=ax2-x-1有且仅有一个零点,则实数a的值为(　D　) A.- B.0 C. D.0或- 解析:当a=0时,f(x)=-x-1,令f(x)=0得x=-1,故f(x)只有一个零点为-1. 当a≠0时,令方程ax2-x-1=0只有一解,则Δ=1+4a=0,所以a=-.综上,有a=0或-.故选D. 3.(2019·全国Ⅲ卷)函数f(x)=2sin x-sin 2x在[0,2π]的零点个数为(　B　) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:由f(x)=2sin x-sin 2x=2sin x-2sin xcos x=2sin x(1-cos x)=0,得sin x=0或cos x=1,因为x∈[0,2π],所以x=0,π或2π.所以f(x)在[0,2π]的零点个数是3.故选B. 4.(2023·河北唐山检测)方程2x+3x=k的解在[1,2)内,则k的取值范围是　　　　.  解析:令函数f(x)=2x+3x-k,则f(x)在R上是增函数.当方程2x+3x=k的解在(1,2)内时,f(1)·f(2)<0,即(5-k)(10-k)<0,解得5<k<10.又当f(1)=0时,k=5.综上,实数k的取值范围是[5,10). 答案:[5,10) 考点一　函数零点所在区间的判定 1.函数f(x)=x+ln x-3的零点所在的区间为(　C　) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 解析:因为f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(2)=ln 2-1<0,f(3)=ln 3>0,故f(x)在区间(2,3)上有唯一零点.故选C. 2.(2022·湖南雅礼中学月考)设函数f(x)=x-ln x,则函数y=f(x)(　D　) A.在区间(,1),(1,e)内均有零点 B.在区间(,1),(1,e)内均无零点 C.在区间(,1)内有零点,在区间(1,e)内无零点 D.在区间(,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点 解析:f(x)的定义域为{x|x>0},f′(x)=-=,令f′(x)>0⇒x>3,f′(x)<0⇒0<x<3,所以f(x)在(0,3)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增,又f()=+1>0,f(1)=>0,所以f(x)在(,1)内无零点.又f(e)=-1<0,所以f(x)在(1,e)内有零点.故选D. 3.(2023·山西太原模拟)利用二分法求方程log3x=3-x的近似解,可以取的一个区间是(　C　) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 解析:设f(x)=log3x-3+x,当x→0时,f(x)→-∞,f(1)=-2,又因为f(2)=log32-1<0,f(3)=log33-3+3=1>0,故f(2)·f(3)<0,故方程log3x=3-x在区