第二章 第6节 对数与对数函数-【导与练】2024高考文科数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第6节　对数与对数函数 [考试要求] 1.理解对数的概念及运算性质,能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数. 2.通过实例,了解对数函数的概念,会画对数函数的图象,理解对数函数的单调性与特殊点. 3.了解指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数. 1.对数的概念 一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数. 以10为底的对数叫做常用对数,记作lg N.以e为底的对数叫做自然对数,记作ln N. 2.对数的性质与运算性质 (1)对数的性质:loga1=0,logaa=1,=N(a>0,且a≠1,N>0). (2)对数的运算性质:如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么: ①loga(M·N)=logaM+logaN; ②loga=logaM-logaN; ③logaMn=nlogaM (n∈R). (3)换底公式:logab=(a>0,且a≠1,b>0,c>0,且c≠1). 3.对数函数的图象与性质 y=logax a>1 0<a<1 图象 定义域 (0,+∞) 值域 R 性质 过定点(1,0),即x=1时,y=0 当x>1时,y>0; 当0<x<1时,y<0 当x>1时,y<0; 当0<x<1时,y>0 在(0,+∞) 上是增函数 在(0,+∞) 上是减函数 4.反函数 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称. [重要结论] 1.logab·logba=1,lobn=logab. 2.如图给出4个对数函数的图象 则b>a>1>d>c>0,即在第一象限内,不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大. 3.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象恒过点(1,0),(a,1),(,-1). 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)若MN>0,则loga(MN)=logaM+logaN.(　　) (2)对数函数y=logax(a>0,且a≠1)在(0,+∞)上是增函数.(　　) (3)函数y=loga与函数y=ln(1+x)-ln(1-x)是同一个函数.(　　) (4)函数y=log2x与y=lo的图象重合.(　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2.(教材改编题)log29×log34+2log510+log50.25等于(　D　) A.0 B.2 C.4 D.6 解析:原式=2log23×2log32+log5(102×0.25)=4+log525=4+2=6.故选D. 3.(2022·浙江卷)已知2a=5,log83=b,则4a-3b等于(　C　) A.25 B.5 C. D. 解析:由2a=5两边取以2为底的对数,得a=log25,又b=log83==log23,所以a-3b=log25-log23=log2==2log4=log4,所以4a-3b==.故选C. 4.(2023·四川成都七中模拟预测)若log2x+log4y=1,则(　B　) A.x2y=2 B.x2y=4 C.xy2=2 D.xy2=4 解析:log2x+log4y=log2x+log2y=log2x+log2=log2(x)=1,所以x=2,两边平方得x2y=4.故选B. 考点一　对数式的运算 1.设2a=5b=m,且+=2,则m=(　A　) A. B.10 C.20 D.100 解析:由已知,得a=log2m,b=log5m,则+=+=logm2+logm5=logm10=2.因此m2=10,m=.故选A. 2.(2019·北京卷)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2-m1=lg ,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为(　A　) A.1010.1 B.10.1 C.lg 10.1 D.10-10.1 解析:设太阳的星等为m1,天狼星的星等为m2,则太阳与天狼星的亮度分别为E1,E2,由条件m1=-26.7,m2=-1.45,m2-m1=lg ,得lg =-1.45+26.7=25.25. 所以lg =25.25×=10.1, 所以=1010.1,即太阳与天狼星的亮度的比值为1010.1.故选A. 3.计算:=　　　　.  解析:原式= = ====1. 答案:1 4.(2023·山东德州期末)声音大小(单位:分贝)取决于声波通过介质时,所产生的压力变化(简称声压,单位:N/m2 ).已知声音大小y与声压x 的关系式为y=10×lg(