第二章 第5节 指数与指数函数-【导与练】2024高考文科数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第5节　指数与指数函数 [考试要求] 1.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握指数幂的运算性质. 2.通过实例,了解指数函数的实际意义,会画指数函数的图象. 3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质,并能简单应用. 1.根式 (1)如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*. (2)式子叫做根式,其中n叫做根指数,a叫做被开方数. (3)()n=a.当n为奇数时,=a;当n为偶数时,=|a|= 2.分数指数幂 正数的正分数指数幂,=(a>0,m,n∈N*,且n>1). 正数的负分数指数幂,==(a>0,m,n∈N*,且n>1). 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 3.指数幂的运算性质 aras=ar+s;(ar)s=ars;(ab)r=arbr(a>0,b>0,r,s∈Q). 4.指数函数及其性质 (1)概念:函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是R,a是底数. (2)指数函数的图象与性质. a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0,+∞) 性质 过定点(0,1),即x=0时,y=1 当x>0时,y>1;当x<0时,0<y<1 当x<0时,y>1;当x>0时,0<y<1 在(-∞,+∞)上是增函数 在(-∞,+∞)上是减函数 [重要结论] 1.指数函数图象的关键点(0,1),(1,a),(-1,). 2.如图所示是指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的图象,则c>d>1>a>b>0,即在第一象限内,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象越高,底数越大. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)=-4.(　　) (2)2a·2b=2ab.(　　) (3)函数y=3·2x与y=2x+1都不是指数函数.(　　) (4)若am<an(a>0,且a≠1),则m<n.(　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2.(教材改编题)化简[的结果为(　B　) A.5 B. C.- D.-5 解析:原式=(=(===.故选B. 3.(2022·北京卷)已知函数f(x)=,则对任意实数x,有(　C　) A.f(-x)+f(x)=0 B.f(-x)-f(x)=0 C.f(-x)+f(x)=1 D.f(-x)-f(x)= 解析:函数f(x)的定义域为R,f(-x)==,所以f(-x)+f(x)=+=1.故选C. 4.(2023·福建模拟质检)已知a=0.30.6,b=0.30.5,c=0.40.5,则(　D　) A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.c>b>a 解析:法一　由指数函数y=0.3x在定义域内单调递减,得a<b,由幂函数y=x0.5在定义域内单调递增,得c>b.故选D. 法二　因为=0.<1,且=()0.5<1,又a,b,c都为正数,所以c>b>a.故选D. 考点一　指数幂的运算 1.(2022·四川眉山强基考试)已知x<0,y>0,化简得(　B　) A.-x2y B.x2y C.-3x2y D.3x2y 解析:由题意得 =(x8(y4=x2|y|=x2y.故选B. 2.已知f(x)=2x+2-x,若f(a)=3,则f(2a)=　　　　.  解析:因为f(a)=2a+2-a=3.所以f(2a)=22a+2-2a=(2a+2-a)2-2=32-2=7. 答案:7 3.(2023·河北沧州七校联考)() ·(a>0,b>0)=　　　　.  解析:原式==. 答案: 4.已知常数a>0,函数f(x)=的图象经过点P(p,),Q(q,-).若2p+q=36pq,则a=　　　　.  解析:因为f(x)==,且其图象经过点P,Q,则f(p)==,即=-,① f(q)==-,即=-6,② ①×②得=1,则2p+q=a2pq=36pq,所以a2=36,解得a=±6,因为a>0,所以a=6. 答案:6 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,但应注意:(1)必须同底数幂相乘,指数才能相加;(2)运算的先后顺序. 2.当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数. 3.运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数. 考点二　指数函数的图象及应用 [例1] (1)(2023·湖北黄石调研)函数f(x)=的大致图象为(　　) (2)若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是　　　　.  解析:(1)f(x)=,f(x)的定义域为R,f(0)=0,排除A,C选项;f(-x)==f(x),所以f(x)为偶函数,图象关于y轴对称,排除B选项.故选D. (2)在同一平