第二章 第4节 二次函数与幂函数-【导与练】2024高考文科数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第4节　二次函数与幂函数 [考试要求] 1.通过具体实例,了解幂函数及其图象的变化规律. 2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等). 1.幂函数 (1)幂函数的定义. 一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数. (2)常见的五种幂函数的图象. (3)幂函数的性质. ①幂函数在(0,+∞)上都有定义; ②当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增; ③当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减; ④当α为奇数时,y=xα为奇函数;当α为偶数时,y=xα为偶函数. 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式. 一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为(m,n). 零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点. (2)二次函数的图象和性质. 函数 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0) 图象 (抛物线) 定义域 R 值域 [,+∞) (-∞,] 对称轴 x=- 顶点坐标 (-,) 奇偶性 当b=0时是偶函数,当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在(-∞,-]上单调递减;在[-,+∞)上单调递增 在(-∞,-]上单调递增; 在[-,+∞)上单调递减 [重要结论] 1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关. 2.若f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则当时,恒有f(x)>0;当时,恒有f(x)<0. 3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限; (2)幂函数的图象过定点(1,1),如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)函数y=是幂函数.(　　) (2)若幂函数y=xα是偶函数,则α为偶数.(　　) (3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象恒在x轴下方,则a<0且Δ<0.(　　) (4)若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的两个零点确定,则二次函数的解析式确定.(　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2.(教材改编题)已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,),则f()等于(　B　) A.- B. C.± D. 解析:设f(x)=xα,则2α=,所以α=,所以f(x)=,所以f()=.故选B. 3.(2023·四川雅安期末)已知幂函数f(x)=(a2-3a+3)xa+1为偶函数,则实数a的值为(　C　) A.3 B.2 C.1 D.1或2 解析:因为幂函数f(x)=(a2-3a+3)xa+1为偶函数,所以a2-3a+3=1,解得a=1或2,又f(x)为偶函数,所以a=1.故选C. 4.(2023·贵州贵阳质检)若函数f(x)=4x2-kx-8在[5,8]上是单调函数,则k的取值范围是(　C　) A.(-∞,40] B.[40,64] C.(-∞,40]∪[64,+∞) D.[64,+∞) 解析:函数f(x)图象的对称轴方程为x=,且f(x)在[5,8]上是单调函数,所以≥8或≤5,解得k≥64或k≤40.故选C. 考点一　幂函数的图象与性质 1.若幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的大致图象是(　C　) 解析:设幂函数的解析式为y=xα,因为幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),所以2=4α,解得α=,所以y=,其定义域为[0,+∞),且是增函数,当0<x<1时,其图象在直线y=x的上方,对照选项,C正确.故选C. 2.已知函数f(x)=(m2-m-1)·是幂函数,且在(0,+∞)上是减函数,则实数m=(　A　) A.2 B.-1 C.4 D.2或-1 解析:依幂函数定义,有m2-m-1=1,所以m=2或m=-1.当m=2时,f(x)=x-3在(0,+∞)上是减函数,当m=-1时,f(x)=x0=1在(0,+∞)上不是减函数,舍去,所以m=2.故选A. 3.(2023·河北衡水中学调研)已知点(m,8)在幂函数f(x)=(m-1)xn的图象上,设a=f(),b=f(ln π),c=f(),则a,b,c的大小关系是(　A　) A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.b<a<c 解析:由于f(x)=(m-1)xn为幂函数,所以m-1=1,则m=2,f(x)=xn.又点(2,8)在函数f(x)=xn的图象上,所以8=2n,n=3,故f(x)=x3,且在R上是增函数,又ln π>1>=>,所以f(ln π)>f()>f(),则b>c>a.故选A. 4.(2023·河南郑州质