第二章 第3节 函数的奇偶性与周期性-【导与练】2024高考文科数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第3节　函数的奇偶性与周期性 [考试要求] 1.了解函数奇偶性的含义,结合三角函数了解周期性与对称性及其几何意义. 2.会依据函数的性质进行简单的应用. 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 2.函数的周期性 (1)周期函数:T为函数f(x)的一个周期,则需满足的条件: ①T≠0; ②f(x+T)=f(x)对定义域内的任意x都成立. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. [重要结论] 1.奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性. 2.函数周期性常用结论:对f(x)定义域内任一自变量的值x, (1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0). (2)若f(x+a)=,则T=2a(a>0). 3.函数对称性常用结论: (1)f(a-x)=f(a+x)⇔f(-x)=f(2a+x)⇔f(x)=f(2a-x)⇔f(x)的图象关于直线x=a对称. (2)f(a+x)=f(b-x)⇔f(x)的图象关于直线x=对称.f(a+x)=-f(b-x)⇔f(x)的图象关于点(,0)对称. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)若函数f(x)为奇函数,则f(0)=0.(　　) (2)若f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,则y=f(x)g(x)为奇函数.(　　) (3)若T是函数f(x)的一个周期,则kT(k∈N*)也是函数的一个周期.(　　) (4)若函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),则f(x)的图象关于直线x=2对称.(　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2.(教材改编题)下列函数中为偶函数的是(　B　) A.y=x2sin x B.y=x2cos x C.y=|ln x| D.y=2-x 解析:根据偶函数的定义知偶函数满足f(-x)=f(x)且定义域关于原点对称,A选项为奇函数;B选项为偶函数;C选项定义域为(0,+∞),不具有奇偶性;D选项既不是奇函数,也不是偶函数.故选B. 3.(2023·贵州师大附中模拟)已知f(x)为R上的奇函数,满足f(x+4)=-f(x),且当x∈[0,4]时,f(x)=-x2+4x,则f(2 022)=(　A　) A.-4 B.-3 C.4 D.3 解析:因为奇函数满足f(x+4)=-f(x),所以f(x+4+4)=-f(x+4)=f(x),即f(x+8)=f(x),所以函数f(x)的周期为8,所以f(2 022)=f(252×8+6)=f(6)=-f(2)=-(-22+4×2)=-4.故选A. 4.(2022·全国乙卷)若f(x)=ln|a+|+b是奇函数,则a=　　　　,b=　　　　.  解析:f(x)=ln|a+|+b=ln|a+|+ln eb=ln||. 因为f(x)为奇函数, 所以f(-x)+f(x)= ln||=0, 所以|(a+1)2e2b-a2e2bx2|=|1-x2|. 当(a+1)2e2b-a2e2bx2=1-x2时, [(a+1)2e2b-1]+(1-a2e2b)x2=0对任意的x恒成立,则 解得 当(a+1)2e2b-a2e2bx2=x2-1时, [(a+1)2e2b+1]-(a2e2b+1)x2=0对任意的x恒成立, 则无解. 综上,a=-,b=ln 2. 答案:-　ln 2 考点一　函数的奇偶性 微点1　判断函数的奇偶性 [例1] 判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)=+; (2)f(x)= (3)f(x)=log2(x+). 解:(1)由得x2=3,解得x=±,即函数f(x)的定义域为{-,},关于原点对称, 从而f(x)=+=0.因此f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x),所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数. (2)显然函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称. 因为当x<0时,-x>0,则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x); 当x>0时,-x<0,则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x). 综上可知,对于定义域内的任意x,总有f(-x)=-f(x)成立,所以函数f(x)为奇函数. (3)显然函数f(x)的定义域为R,f(-x)=log2[-x+]=log2(-x) =log2(+x)-1=-log2(+x)=-f(x),故f(x)为奇函数. 判断函数的奇