第二章 第2节 函数的单调性与最值-【导与练】2024高考文科数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第2节　函数的单调性与最值 [考试要求] 1.借助函数图象,会用数学符号语言表达函数的单调性、最值,理解其实际意义. 2.掌握函数单调性的简单应用. 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义. 增函数 减函数 定义 一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2 当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数 f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义. 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做函数y=f(x)的单调区间. 2.函数的最值 前提 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 条件 ①对于任意的x∈I,都有f(x)≤M ②存在x0∈I,使得f(x0)=M ①对于任意的x∈I, 都有f(x)≥M ②存在x0∈I,使得f(x0)=M 结论 M是f(x)的最大值 M是f(x)的最小值 [重要结论] 1.∀x1,x2∈D且x1≠x2,有>0(<0)或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0(<0)⇔f(x)在区间D上单调递增(减). 2.在公共定义域内,增函数+增函数=增函数,减函数+减函数=减函数. 3.函数y=f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y=-f(x),y=的单调性相反. 4.复合函数的单调性:函数y=f(u),u=(x)在函数y=f((x))的定义域上,如果y=f(u)与u=(x)的单调性相同,那么y=f((x))单调递增;如果y=f(u)与u=(x)的单调性相反,那么y=f((x))单调递减. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)对于函数f(x),x∈D,若对任意x1,x2∈D,且x1≠x2有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,则函数f(x)在区间D上是增函数.(　　) (2)函数y=的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).(　　) (3)对于函数y=f(x),若f(1)<f(3),则f(x)为增函数.(　　) (4)函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数y=f(x)的单调递增区间是[1,+∞).(　　) 答案:(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2.(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为(　D　) A.f(x)=-x B.f(x)=()x C.f(x)=x2 D.f(x)= 解析:法一(排除法)　取x1=-1,x2=0,对于A项有f(x1)=1,f(x2)=0,所以A项不符合题意;对于B项有f(x1)=,f(x2)=1,所以B项不符合题意;对于C项有f(x1)=1,f(x2)=0,所以C项不符合题意.故选D. 法二(图象法)　如图,在平面直角坐标系中分别画出A,B,C,D四个选项中函数的大致图象,即可快速直观判断D项符合题意.故选D. 3.(教材改编题)已知函数f(x)=3x2-2ax+1,若对任意的x1,x2∈(-∞,-2),且x1<x2,总有f(x1)>f(x2),则a的取值范围是(　B　) A.[6,+∞) B.[-6,+∞) C.(-∞,6] D.(-∞,-6] 解析:依题意可得f(x)=3x2-2ax+1在(-∞,-2)上为减函数,则-≥-2⇒a≥-6,即a的取值范围是[-6,+∞).故选B. 4.(2023·安徽合肥诊断)函数f(x)=9x2+的最小值为　　　　.  解析:因为f(x)的定义域为[1,+∞),且y=9x2与y=在[1,+∞)内均为增函数,所以f(x)在[1,+∞)上单调递增,故f(x)min=f(1)=9. 答案:9 考点一　求函数的单调区间 1.(2023·四川阆中中学模拟)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是(　D　) A.(-∞,-2) B.(-∞,1) C.(1,+∞) D.(4,+∞) 解析:由x2-2x-8>0得x∈(-∞,-2)∪(4,+∞),令t=x2-2x-8,则y=ln t, 因为当x∈(-∞,-2)时,t=x2-2x-8为减函数;x∈(4,+∞)时,t=x2-2x-8为增函数; y=ln t为增函数,故函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是(4,+∞).故选D. 2.(2023·河北英才国际学校模拟)若函数f(x)=6ln x-x2+x,则f(x)的单调递减区间为(　B　) A.(-∞,-)∪(2,+∞) B.(2,+∞) C.(0,2) D.(0,)∪(2,+∞) 解析:f(x)的定义域为(0,+∞